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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Nous utiliserons ce théorème des accroissements finis sous la forme suivante, qui
en est un corollaire évident :
Si a et a + h sont deux points d'un intervalle où la fonction w est dérivable, alors
il existe a E]O, 1[ tel que w(a + h) - w(a) = hw'(a +ah).
Une remarque préliminaire s'impose: puisque lorsqu'on dérive f par rapport à
Xi, toutes les autres variables peuvent être considérées comme des constantes,
et que dans ce théorème, seules interviennent les dérivations par rapport à xi
et par rapport à Xj, on peut considérer que tous les autres x1 avec 1 :::;; l :::;; p et
l f:. i, l f:. j sont des constantes. Ce point de vue consiste, finalement, pour cette
démonstration, à considérer que f est une fonction de seulement deux variables.
On considérera donc que f est une fonction réelle des deux variables x et y et on
admettra que dans le cas général, ce que nous aurons fait reste valable.
Soit Xo = (xo, Yo) E U. Puisque U est un ouvert, il existe une boule de centre
Xo, de rayon R, qui est incluse dans U. Nous avons le choix d'utiliser n'importe
quelle norme de ~ 2 , mais ici, la norme la plus pertinente est la norme du max.
On suppose donc que B 00 (Xo, R) c U.
Soient h et k deux réels strictement positifs, que l'on choisit < R.
Considérons f)..(h, k) = f(xo + h, Yo + k) - f(xo + h, Yo) - f(xo, Yo + k) + f(xo, Yo).
Remarquons que les quatre couples (xo + h, Yo + k), (xo + h, yo), (xo, Yo + k) et
bien sûr (xo, Yo) sont dans B00 (Xo, R), donc dans U donc dans V(f) et dans le
d
. d
t· .t, d d' . ,
t· 11
. ,
a2 f t a21 ·1
omame e con mm e es envees par ie es « cr01sees » âxây e âyâx ; 1 en
est de même de tous les couples situés dans le rectangle délimité par ces 4 points
(voir la figure (3.19) de la page suivante).
On appelle ABCD ce rectangle, avec A= (xo, yo) = Xo, B = (xo + h, Yo),
C = (xo + h, Yo + k) et D = (xo, Yo + k). Les points de ce rectangle sont les points
de la forme P = (xo +ah, Yo + /3k) avec a E [O, 1] et /3 E [O, 1].
D
c
y - Q
X =A
Mf
1
Yo
B
(3.19)
Pour tout x entre xo et xo + h, on pose
u(x) = J(Px) - J(Mx) = f(x, Yo + k) - f(x, Yo).
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Nous utiliserons ce théorème des accroissements finis sous la forme suivante, qui
en est un corollaire évident :
Si a et a + h sont deux points d'un intervalle où la fonction w est dérivable, alors
il existe a E]O, 1[ tel que w(a + h) - w(a) = hw'(a +ah).
Une remarque préliminaire s'impose: puisque lorsqu'on dérive f par rapport à
Xi, toutes les autres variables peuvent être considérées comme des constantes,
et que dans ce théorème, seules interviennent les dérivations par rapport à xi
et par rapport à Xj, on peut considérer que tous les autres x1 avec 1 :::;; l :::;; p et
l f:. i, l f:. j sont des constantes. Ce point de vue consiste, finalement, pour cette
démonstration, à considérer que f est une fonction de seulement deux variables.
On considérera donc que f est une fonction réelle des deux variables x et y et on
admettra que dans le cas général, ce que nous aurons fait reste valable.
Soit Xo = (xo, Yo) E U. Puisque U est un ouvert, il existe une boule de centre
Xo, de rayon R, qui est incluse dans U. Nous avons le choix d'utiliser n'importe
quelle norme de ~ 2 , mais ici, la norme la plus pertinente est la norme du max.
On suppose donc que B 00 (Xo, R) c U.
Soient h et k deux réels strictement positifs, que l'on choisit < R.
Considérons f)..(h, k) = f(xo + h, Yo + k) - f(xo + h, Yo) - f(xo, Yo + k) + f(xo, Yo).
Remarquons que les quatre couples (xo + h, Yo + k), (xo + h, yo), (xo, Yo + k) et
bien sûr (xo, Yo) sont dans B00 (Xo, R), donc dans U donc dans V(f) et dans le
d
. d
t· .t, d d' . ,
t· 11
. ,
a2 f t a21 ·1
omame e con mm e es envees par ie es « cr01sees » âxây e âyâx ; 1 en
est de même de tous les couples situés dans le rectangle délimité par ces 4 points
(voir la figure (3.19) de la page suivante).
On appelle ABCD ce rectangle, avec A= (xo, yo) = Xo, B = (xo + h, Yo),
C = (xo + h, Yo + k) et D = (xo, Yo + k). Les points de ce rectangle sont les points
de la forme P = (xo +ah, Yo + /3k) avec a E [O, 1] et /3 E [O, 1].
D
c
y - Q
X =A
Mf
1
Yo
B
(3.19)
Pour tout x entre xo et xo + h, on pose
u(x) = J(Px) - J(Mx) = f(x, Yo + k) - f(x, Yo).