3,5 DÉRIVATION PARTIELLE
De même, pour tout y E [yo, Yo + k], on pose
v(y) = f(Ry) - f(Qy) = f(xo + h, y) - f(xo, y).
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Nous allons calculer de deux façons différentes le nombre tl.(h, k), d'une part avec
la fonction u, d'autre part avec la fonction v.
Premier calcul
On remarque que
tl.(h, k) = (f(xo + h, Yo + k) - f(xo + h, Yo)) - (f(xo, Yo + k) - f(xo, Yo))
= u(xo + h) - u(xo).
D'autre part, la fonction u est dérivable au moins sur l'intervalle [xo, xo + h].
En effet, la fonction u1 : t i-------+ f(t, Yo + k) est la première fonction partielle
de f au point (x, Yo + k), ceci pour tout x E [xo, xo + h]. Mais pour toutes ces
valeurs de x, le point (x, Yo + k) est dans B 00 (Xo, R), donc dans U. Or, f est
,
11
a2 f
a (âf) . d u c 1
âf .
supposee te e que âyâx = ây âx existe ans . e a suppose que âx existe,
donc que f est partiellement dérivable par rapport à x pour tout couple dans
U. Or, la dérivabilité partielle de f par rapport à x en f(x, Yo + k) signifie tout
simplement que la première fonction partielle u1 est dérivable en x, et on a de
plus ul(x) = ~~ (x, Yo + k).
De même, la fonction u2 : t i-------+ f(t, Yo) est dérivable sur [xo, xo + h] pour la
même raison, et on a u~(x) = ~~ (x, Yo).
Or, u = u1 - u2, donc u est dérivable sur [xo, xo + h], et on a
/
Ôf
Ôf
u (x) = âx (x, Yo + k) - âx (x, Yo).
On peut donc appliquer le théorème des accroissements finis à u entre xo et xo + h.
On obtient qu'il existe (Ji E]O, 1[ tel que
tl.(h, k) = u(xo + h) - u(xo) = hu'(xo + 01h)
( âf
âf
)
= h âx ( xo + 01 h, Yo + k) - âx ( xo + 01 h, Yo) .
(Si on pose x = x0 + 01h, cela signifie, avec les notations de la figure, que
( âf
âf
)
tl.(h, k) = h âx (Px) - âx (Mx) .)
On considère maintenant la fonction 92 : t i-------+ 8
8 1(xo+01h, t). C'est la deuxième
X
.
fonction partielle de la fonction ~~ en (xo + 01h, y), et elle est dérivable au moins
pour y E [Yo, Yo + k], puisque ~
2
:x = ~~ ( ~~) existe dans U. On a donc 92