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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
dérivable pour y E [yo, Yo + k], et
Mais on a vu que ~(h, k) = h(g2(Yo + k) - g2(Yo)). On peut à nouveau appliquer
le théorème des accroissements finis à 92 : il existe fh E]O, 1[ tel que
On a obtenu la formule
(3.20)
On utilise à présent la continuité de :::x en Xo = (xo, Yo) pour trouver la limite,
lorsque ( h, k) tendent simultanément vers 0 (en fait vers o+, puisque ces nombres
ont été au départ choisis positifs), du membre de gauche de (3.20).
Pour tout E > 0, il existe rJ > 0 tel que pour tout X tel que llX -Xolloo ~ rJ, on a
1
a
2
1
a
2
1
1
âyâx (X) - âyâx (Xo) ~ E.
Pour tous h, k strictement positifs tels que ll(h, k)lloo ~ rJ on a à la fois 0 < h ~ ' fJ
et 0 < k ~ rJ, donc 01 et 02 étant tous deux dans JO, 1[, on en déduit que 0 < 01h ~ ' fJ
et 0 < fhk ~ rJ, donc ll(01h, 02k)lloo ~ 'f/· Mais (xo+01h, Yo+02k)-Xo = (01h, 02k),
donc on a ll(xo + 01h, Yo + 02k) - Xolloo ~ 'f/· D'après le choix de TJ, cela permet
1
a
2
1
a
2
1
1
de conclure que âyâx (xo + 01h, Yo + 02k) - âyâx (Xo) ~ E, et donc
l
~(h,k) _ â 2 f (X )1 ~
hk
âyâx 0 ""E.
Ce qui est souligné, ci-dessus signifie que
(3.21)
lim ~(h, k) = a2 f (Xo).
h--to+ hk
âyâx
k--to+
Deuxième calcul
Nous irons cette fois beaucoup plus vite pour les justifications, qui sont en tout
point calquées sur celles du premier calcul.