3.5 DÉRIVATION PARTIELLE
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On commence par
b.(h, k) = v(yo + k) - v(yo).
On av dérivable sur [yo, Yo + k] et v'(y) = ~~ (xo + h, y) - ~~ (xo, y).
Appliquant le théorème des accroissements finis, on trouve qu'il existe 6 E]O, 1[
tel que
On applique à nouveau le théorème des accroissements finis à la première fonction
.
âf
partielle 91 de ây en ( x, Yo + 6 k).
9 1 est dérivable sur [xo, xo + h] et
1
Ô (Ôf)
Ô
2
f
91 (x) = âx ây (x, Yo + Çik) = âxây (x, Yo + Çik).
Il existe donc 6 E]O, 1[ tel que
On a obtenu la formule
D.(h,k)
a 2 1
hk
= âxây (xo + 6h, Yo + Çik).
En utilisant maintenant la continuité de :::y en Xo, on obtient
(3.22)
1 . b.(h, k) _ 8 2 f (X )
lm
-
0.
h-+o+ hk
âxây
k-to+
Comparant les équations (3.21) et (3.22), grâce au principe de l'unicité de la
limite, on obtient ce qu'on devait démontrer, à savoir