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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
3.5. 7 Fonctions de classe en
Le cas le plus fréquent où l'on peut appliquer le théorème de Schwarz est lorsque
f est de classe e 2 • Définissons cette notion.
Définition 3.44
Soit f une fonction de p variables. On dit que f est de classe en sur un sousensemble U de 'D(f) lorsqu'on peut calculer en tout Xo EU toutes les dérivées
partielles d'ordre inférieur ou égal à net que toutes ces fonctions sont continues
ainsi que f.
f est dite de classe e 00 si f est de classe en pour tout n E N
Remarquons que cela fait beaucoup de vérifications a priori! par exemple pour
vérifier qu'une fonction de 3 variables est de classe e 3 , il faudrait en théorie faire
1 + 3 + 9 + 27 = 40 vérifications.
Heureusement, en pratique, on ne fait pas toutes ces vérifications car on a la
propriété suivante :
Proposition 3.45 Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant
que des opérations usuelles ( +, x, -, /) et des fonctions usuelles indéfiniment
dérivables comme (sin, cos, tan, arctan, exp, ln, sh, ch, th, argsh, argth, ... ) est
de classe e 00 sur son ensemble de définition.
Un corollaire important mais évident du théorème de Schwarz 3.43 est alors le
suivant
Corollaire 3.46 Si f est de classe e 2 sur U, alors pour tout Xo EU, on a
De même, si f est de classe en sur U, alors on peut calculer une dérivée partielle
d'ordre inférieur ou égal à n en prenant dans n'importe quel ordre les variables
qui interviennent.