3.6 EXTREMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
109
Par exemple, pour une fonction de 3 variables de classe C 3 , on est sûr que pour
tout (x, y, z), on a
â 3 f
â 3 f
â 3 f
âx2ây (x, y, z) = âxâyâx (x, y, z) = âyâx2 (x, y, z) ;
â 3 f
â 3 f
â 3 f
âx2âz (x, y, z) = âxâzax (x, y, z) = [)z[)x2 (x, y, z) ;
[)3f
[)3f
[)3j
8y28x (x, y, z) = 8y8x8y (x, y, z) = 8x[)y2 (x, y, z) ;
â3f
[)3j
[)3f
ây28z (x, y, z) = 8y8z8y (x, y, z) = [)z[)y2 (x, y, z) ;
8 3 !
8 3 !
â 3 f
8z2âx (x, y, z) = âzaxâ)x, y, z) = 8x[)z2 (x, y, z) ;
â 3 f
8 3 !
8 3 !
[)z2[)y (x, y, z) = 8zây8)x, y, z) = 8yâz2 (x, y, z) ;
â3f
[)3f
[)3j
[)3j
8x8y8z (x, y, z) = 8x8z8y (x, y, z) = 8y8x8z (x, y, z) = 8y8zâx (x, y, z)
[)3f
[)3f
âz8x8y (x, y, z) = 8z8y8x (x, y, z).
Dans l'exemple du§ 3.5.5 (p. 102), au lieu des 39 calculs des dérivées partielles
d'ordre ~ 3, comme la fonction considérée est bien sûr de classe C 00 , on était sûr
de pouvoir échanger l'ordre des dérivations et il suffisait de faire 19 calculs (3
dérivées premières, 6 dérivées secondes et 10 dérivées troisièmes). (Rassurez-vous,
c'est ce qui a été fait pour faire ce livre, nous sommes bien sûrs que peu de lecteurs
ont vraiment fait ces 39 calculs !)
3.6 Extrema des fonctions de plusieurs variables
3.6.1 Introduction
Un des intérêts les plus visibles de la dérivation des fonctions d'une variable a été
l'étude des variations des fonctions, et entre autres la détermination des extrema,
c'est-à-dire des maximums et des minimums (maxima et minima, au choix).
Si une fonction d'une seule variable f dérivable admet un maximum ou un
minimum en x0 , alors on est sûr que f'(xo) =O.
Si on veut chercher les extremums d'une fonction f d'une seule variable, on a
pris l'habitude de résoudre l'équation f'(x) = 0, et ensuite, à l'aide du tableau de
variation, on peut vérifier que les solutions de cette équation sont effectivement des
extrema, la condition f'(xo) = 0 n'étant qu'une condition nécessaire d'extremum.
Une méthode pour vérifier qu'une fonction f au moins deux fois dérivable admet
bien un minimum en xo, lorsqu'on sait déjà que f'(xo) = 0 est d'étudier la
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Par exemple, pour une fonction de 3 variables de classe C 3 , on est sûr que pour
tout (x, y, z), on a
â 3 f
â 3 f
â 3 f
âx2ây (x, y, z) = âxâyâx (x, y, z) = âyâx2 (x, y, z) ;
â 3 f
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âx2âz (x, y, z) = âxâzax (x, y, z) = [)z[)x2 (x, y, z) ;
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8y28x (x, y, z) = 8y8x8y (x, y, z) = 8x[)y2 (x, y, z) ;
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Dans l'exemple du§ 3.5.5 (p. 102), au lieu des 39 calculs des dérivées partielles
d'ordre ~ 3, comme la fonction considérée est bien sûr de classe C 00 , on était sûr
de pouvoir échanger l'ordre des dérivations et il suffisait de faire 19 calculs (3
dérivées premières, 6 dérivées secondes et 10 dérivées troisièmes). (Rassurez-vous,
c'est ce qui a été fait pour faire ce livre, nous sommes bien sûrs que peu de lecteurs
ont vraiment fait ces 39 calculs !)
3.6 Extrema des fonctions de plusieurs variables
3.6.1 Introduction
Un des intérêts les plus visibles de la dérivation des fonctions d'une variable a été
l'étude des variations des fonctions, et entre autres la détermination des extrema,
c'est-à-dire des maximums et des minimums (maxima et minima, au choix).
Si une fonction d'une seule variable f dérivable admet un maximum ou un
minimum en x0 , alors on est sûr que f'(xo) =O.
Si on veut chercher les extremums d'une fonction f d'une seule variable, on a
pris l'habitude de résoudre l'équation f'(x) = 0, et ensuite, à l'aide du tableau de
variation, on peut vérifier que les solutions de cette équation sont effectivement des
extrema, la condition f'(xo) = 0 n'étant qu'une condition nécessaire d'extremum.
Une méthode pour vérifier qu'une fonction f au moins deux fois dérivable admet
bien un minimum en xo, lorsqu'on sait déjà que f'(xo) = 0 est d'étudier la