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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
convexité de f en xo : une telle fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque
pour tout x E J, on a J"(x) ~O.
Si donc on a non seulement f'(xo) = 0, mais aussi f"(xo) > 0, f" étant continue
(c'est le cas lorsque f est de classe C 2 ), alors on est sûr qu'il existe un intervalle I
centré en xo dans lequel J"(x) ~ 0, donc sur lequel f est convexe. Mais alors la
courbe de fa sa concavité tournée vers le haut et le point de la courbe d'abscisse
xo où on sait déjà que la tangente est horizontale est forcément un minimum relatif
(la tangente en tout point de la courbe d'une fonction convexe est en dessous de
cette courbe).
(3.23)
Bien entendu, si f'(xo) = 0 et J"(xo) < 0, on peut en raisonnant de la même
façon affirmer qu'il y a en xo un maximum relatif.
C'est ce type de résultat qu'on va essayer d'étendre aux fonctions de plusieurs
variables.
3.6.2 Extremum relatif
Définition 3.47 Soit f une fonction de ~P vers R On dit que f admet en
Xo E 'D(J) un minimum [respectivement un maximum] relatif (ou local) s'il
existe un voisinage V de Xo inclus dans 'D(J) tel que pour tout X E V, on a
f(X) ~ f(Xo) [respectivement f(X) ~ f(Xo)]. Le minimum [respectivement le
maximum] de f sur V est alors le réel f(Xo).
Un extremum relatif est un maximum relatif ou un minimum relatif.
Bien entendu un extremum relatif se transforme en extremum absolu lorsque le
voisinage V de la définition peut être pris égal à 'D(J).
On peut toujours choisir le voisinage V de la définition dans une base particulière
de voisinages de Xo, par exemple on peut se limiter aux boules pour une certaine
norme, de centre Xo.
Une proposition assez évidente qui permet de se limiter dans les démonstrations
aux minimums relatifs est la suivante :
Lemme 3.48 Soit f est une fonction de plusieurs variables. Alors f admet un
maximum en Xo si et seulement si - f admet un minimum en X 0 .
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
convexité de f en xo : une telle fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque
pour tout x E J, on a J"(x) ~O.
Si donc on a non seulement f'(xo) = 0, mais aussi f"(xo) > 0, f" étant continue
(c'est le cas lorsque f est de classe C 2 ), alors on est sûr qu'il existe un intervalle I
centré en xo dans lequel J"(x) ~ 0, donc sur lequel f est convexe. Mais alors la
courbe de fa sa concavité tournée vers le haut et le point de la courbe d'abscisse
xo où on sait déjà que la tangente est horizontale est forcément un minimum relatif
(la tangente en tout point de la courbe d'une fonction convexe est en dessous de
cette courbe).
(3.23)
Bien entendu, si f'(xo) = 0 et J"(xo) < 0, on peut en raisonnant de la même
façon affirmer qu'il y a en xo un maximum relatif.
C'est ce type de résultat qu'on va essayer d'étendre aux fonctions de plusieurs
variables.
3.6.2 Extremum relatif
Définition 3.47 Soit f une fonction de ~P vers R On dit que f admet en
Xo E 'D(J) un minimum [respectivement un maximum] relatif (ou local) s'il
existe un voisinage V de Xo inclus dans 'D(J) tel que pour tout X E V, on a
f(X) ~ f(Xo) [respectivement f(X) ~ f(Xo)]. Le minimum [respectivement le
maximum] de f sur V est alors le réel f(Xo).
Un extremum relatif est un maximum relatif ou un minimum relatif.
Bien entendu un extremum relatif se transforme en extremum absolu lorsque le
voisinage V de la définition peut être pris égal à 'D(J).
On peut toujours choisir le voisinage V de la définition dans une base particulière
de voisinages de Xo, par exemple on peut se limiter aux boules pour une certaine
norme, de centre Xo.
Une proposition assez évidente qui permet de se limiter dans les démonstrations
aux minimums relatifs est la suivante :
Lemme 3.48 Soit f est une fonction de plusieurs variables. Alors f admet un
maximum en Xo si et seulement si - f admet un minimum en X 0 .