3.6 EXTREMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
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Preuve Il suffit d'appliquer la définition ci-dessus.
D
3.6.3 Condition nécessaire d'extremum des fonctions de plusieurs variables
Théorème 3.49 Soit f une fonction des p variables x1, ... , Xp, de JRP vers iR,
partiellement dérivable par rapport à toutes ses variables. Si f admet un extremum
relatif en Xo, alors pour tout i E {1, ... ,p}, on a
âf
- 8 (Xo) =O.
Xi
Preuve Grâce au lemme 3.48, il suffit d'établir ce résultat dans le cas où f
admet un minimum en Xo, car ensuite, si f admet un maximum, - f admet un
minimum, et donc les dérivées partielles de - f sont nulles en Xo et les dérivées
partielles de f (qui sont les opposées de celles de - f) sont alors bien sûr elles
aussi nulles.
Supposons que f admet un minimum en Xo = (x10, ... , Xpo).
Alors, pour tout indice i, la i-ème fonction partielle 9i est une fonction d'une
variable admettant un minimum relatif en XiO·
En effet, on peut trouver une boule B = B 00 (Xo, R) telle que pour tout XE B,
on a f (X) ;;::: f (Xo).
Mais alors, si t E [xiO - R, Xio + R], on a
ll(x10, ... , X(i-l)O• t, X(i+l)O• ... , Xpo) - Xolloo = lt - XiQI ~ R,
donc (x10, ... , x(i-l)O• t, X(i+l)O• ... , Xpo) E B et
9i(t) = f (x10, ... 'X(i-l)O• t, X(i+l)O• ... 'Xpo) ;;::: f (Xo) = 9i(Xi0)·
Le fait que pour tout t E [xiO - R, XiO + R], on ait 9i(t) ;;::: 9i(xi0) signifie justement
que 9i présente un minimum relatif en XiQ.
D'après ce qu'on sait pour les fonctions d'une variable, on peut donc affirmer que
gHxiO) = 0, mais par définition de la dérivée partielle de f par rapport à lai-ème
variable, on a justement gHxiO) = ââf (Xo), et donc
Xi
âf
- 8 (Xo) =O.
Xi
D
Attention ! La réciproque est fausse : donnons un contre exemple.
Soit f définie sur JR 2 par f(x,y) = x 3 y 3 . Pour tout (x,y) E JR 2 , on a ~~(x,y) =
3x 2 y 3 et ~~ (x, y) = 3x 3 y 2 , donc ~~ (0, 0) = ~~ (0, 0) =O.
Il pourrait donc y avoir un extremum en (0, 0).