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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE RP VERS Rn
Vérifions qu'en fait f (0, 0) = 0 n'est ni un maximum relatif, ni un minimum relatif.
Pour cela, il faut prouver que dans tout voisinage de (0, 0), il y a des (x, y) tels
que f(x, y) > 0 et d'autres tels que f(x, y)
Or, pour tout é > 0, on a (é,é) E B 00 (0,é) et f(é,é) = € 6 >O. On a prouvé que
f (0, 0) n'est pas un maximum relatif.
De même, on a (é, -é) E B 00 (0, é) et f(é, -€) = -€ 6
Le théorème 3.49 permet donc de détecter d'éventuels extremums, mais il ne
permet pas de prouver quoi que ce soit. Il permet seulement de trouver les points
« candidats » pour être extrema. On a vu un exemple où on arrivait à prouver
que l'on n'avait pas extremum, alors que les dérivées partielles s'annulent. Mais
comment faire pour établir qu'on a vraiment un extremum? On peut bien sûr
« bricoler », faire apparaître des carrés, ... Mais dans le cas des fonctions de deux
variables, on a aussi un théorème que nous verrons au§ 3.6.5. Auparavant, nous
avons besoin d'une généralisation de la formule de Taylor-Lagrange.
3.6.4 Une formule de Taylor pour les fonctions de 2 variables
Dérivée seconde d'une fonction composée
Nous nous plaçons dans un cas très particulier de la situation du §3.5.4 (p. 96),
analogue à la situation de la formule des accroissements finis (Théorème 3.41
p. 99). On considère une fonction F de lR vers JR, qui se décompose F =fou,
avec
F:
t
1--7
Cette fois, nous supposerons que f est de classe C 2 et nous prenons comme fonction
u celle définie par u(t) = Xo + tH = (xo + ht, Yo +kt). On a donc
F(t) = f(xo + ht, Yo +kt).
Proposition 3.50 Sous les hypothèses ci-dessus, F est deux fois dérivable et
on a
"
2&!
&J
2&!
F (t) = h âx 2 (xo+ht, Yo+kt)+2hk âxây (xo+ht, Yo+kt)+k ây 2 (xo+ht, yo+kt).
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE RP VERS Rn
Vérifions qu'en fait f (0, 0) = 0 n'est ni un maximum relatif, ni un minimum relatif.
Pour cela, il faut prouver que dans tout voisinage de (0, 0), il y a des (x, y) tels
que f(x, y) > 0 et d'autres tels que f(x, y)
Or, pour tout é > 0, on a (é,é) E B 00 (0,é) et f(é,é) = € 6 >O. On a prouvé que
f (0, 0) n'est pas un maximum relatif.
De même, on a (é, -é) E B 00 (0, é) et f(é, -€) = -€ 6
Le théorème 3.49 permet donc de détecter d'éventuels extremums, mais il ne
permet pas de prouver quoi que ce soit. Il permet seulement de trouver les points
« candidats » pour être extrema. On a vu un exemple où on arrivait à prouver
que l'on n'avait pas extremum, alors que les dérivées partielles s'annulent. Mais
comment faire pour établir qu'on a vraiment un extremum? On peut bien sûr
« bricoler », faire apparaître des carrés, ... Mais dans le cas des fonctions de deux
variables, on a aussi un théorème que nous verrons au§ 3.6.5. Auparavant, nous
avons besoin d'une généralisation de la formule de Taylor-Lagrange.
3.6.4 Une formule de Taylor pour les fonctions de 2 variables
Dérivée seconde d'une fonction composée
Nous nous plaçons dans un cas très particulier de la situation du §3.5.4 (p. 96),
analogue à la situation de la formule des accroissements finis (Théorème 3.41
p. 99). On considère une fonction F de lR vers JR, qui se décompose F =fou,
avec
F:
t
1--7
Cette fois, nous supposerons que f est de classe C 2 et nous prenons comme fonction
u celle définie par u(t) = Xo + tH = (xo + ht, Yo +kt). On a donc
F(t) = f(xo + ht, Yo +kt).
Proposition 3.50 Sous les hypothèses ci-dessus, F est deux fois dérivable et
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F (t) = h âx 2 (xo+ht, Yo+kt)+2hk âxây (xo+ht, Yo+kt)+k ây 2 (xo+ht, yo+kt).