3,6 EXTREMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
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preuve Grâce au théorème 3.40 p. 97 (le calcul a déjà été fait pour le théorème
3.41 p. 99), on a
'
8f
8f
F (t) = h 8 x (xo + ht, Yo +kt)+ k 8 y (xo + ht, Yo +kt).
h et k sont des constantes en ce qui concerne la dérivation par rapport à la variable
t. Il suffit donc de réappliquer ce théorème 3.40 aux deux fonctions composées
8f
8f
G 1 : t i-------+ 8 x (xo + ht, Yo +kt) et G2 : t i-------+ 8 y (xo + ht, Yo +kt).
On a bien sûr
Gi(t) = h ! (~~) (xo + ht, Yo +kt)+ k :Y (~~) (xo + ht, Yo +kt)
8 2 J
8 2 !
= h 8 x 2 (xo + ht, Yo +kt)+ k 8 y 8 x (xo + ht, Yo +kt)
et G~(t) =h! (~~) (xo+ht,yo+kt)+k~ (~~) (xo+ht,yo+kt)
8 2 !
8 2 !
= h 8 x 8 y (xo + ht, Yo +kt) + k 8 Y 2 (xo + ht, Yo +kt).
En utilisant que F' = hG1 + kG2, on obtient
"( )
2 8
2
f (
)
8
2
J (
)
F t = h 8 x 2 xo + ht, Yo + kt + hk 8 y 8 x xo + ht, Yo + kt
8 2 !
8 2 J
+ kh 8 x 8 y (xo + ht, Yo +kt)+ k 2 8 Y 2 (x0 + ht, y0 +kt).
On conclut en utilisant le théorème de Schwarz, puisque f est de classe C 2 :
"()
28 2 !(
8 2 !
28 2 J
F t = h 8 x 2 xo+ht, Yo+kt)+2hk 8 x 8 y (xo+ht, Yo+kt)+k 8 Y 2 (xo+ht, Yo+kt).
D
La formule de Taylor-Lagrange pour une fonction de 2 variables
Théorème 3.51 Soit f une fonction de deux variables, supposée de classe C 2 sur
un domaine U C D(f), supposé ouvert et convexe (voir remarque 3.5.4 p. 101).
Xo = (xo, Yo) et X= (x, y)= Xo + H = (xo + h, Yo + k) sont deux points de U.
Alors il existe (J E]O, 1[ tel que