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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS R"
On a donc
Preuve La démonstration de ce théorème ressemble beaucoup à celle de la
formule des accroissements finis (théorème 3.41 p. 99).
On considère la fonction F : t i-----+ f(Xo + tH) = f(xo +th, Yo + tk). C'est une
fonction d'une variable, deux fois dérivable sur [O, 1], et on peut donc lui appliquer
la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2, (pour les fonctions d'une variable)
(3.24)
30 E]O, 1[ tel que
F(l) = F(O) + lF'(O) + ~
2 F"(O).
Or, les valeurs de F'(t) et de F"(t) ont été déterminées précédemment (théorème
3.41 p. 99 et proposition 3.50 p. 112). On a F'(t) = h ~~ (xo + ht, yo +kt)+
8f
k 8 Y (xo + ht, Yo +kt) et
,,
28 2 f(
)
8 2 f
28 2 f
F (t) = h 8 2 xo+ht, Yo+kt +2hk- 8 8 (xo+ht, yo+kt)+k 8 2 (xo+ht, Yo+kt).
X
·
X y
y
Reportant ces expressions dans (3.24), on tombe exactement sur ce qu'on voulait
démontrer.
D
3.6.5 Une condition suffisante d'extremum
Théorème 3.52 Soit f une fonction de deux variables x et y, à valeurs dans
JR. On suppose que f est de classe C 2 surU c D(f). Soit Xo = (xo,Yo) EU. On
8f
8f
.
suppose que 8 x (Xo) = 8 y (Xo) = 0 {Xo est un extremum possible). Il est d'usage
de poser
8 2 f
8 2 f
s = 8 x 8 y (Xo) = 8 y 8 x (Xo) (Schwarz)
Alors on a les résultats suivants
Si s 2 - rt < 0, alors f admet un extremum relatif strict en Xo; cet extremum est
un minimum sir> 0, un maximum sir< 0 (remarquons que r et t ont dans ce
cas forcément le même signe).