3.6 EXTREMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
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Si 82 - rt > 0, alors on est §Ûr que f n'admet pas d'extremum relatif en Xo.
Si s 2 -rt = 0, on ne peut rien conclure: f(Xo) peut être un minimum relatif (dans
ce cas, forcément r ~ 0 et t ~ 0), un maximum relatif (dans ce cas, forcément
r ::;; O et t ::;; 0) ou ni maximum, ni minimum relatif.
Nous ne démontrerons pas en entier ce théorème, et nous admettrons certains
points (une preuve complète nécessite la connaissance des formes bilinéaires
symétriques, et pourrait alors être faite pour une fonction de n variables, pas
seulement pour deux variables). Nous utiliserons cependant plus loin les résultats
qu'il contient.
Une façon d'aider à comprendre ce théorème est de le rapprocher de la situation
décrite dans l'introduction (§ 3.6.1 p. 109)
Tout d'abord, la représentation graphique d'une fonction f de 2 variables, c'est
une nappe dans l'espace à trois dimensions, rapporté à un repère (0, i,J, k), ayant
comme équation z = f(x, y).
Admettons provisoirement le résultat suivant concernant le plan tangent à la
nappez= f(x, y) en un point Xo = (xo, Yo) (tout cela sera précisé lors de l'étude
de la différentiabilité) :
Lemme 3.53 Si f admet des dérivées- partielles p = ~~ (Xo) et q = ~~ (Xo),
le plan P passant par le point Mo = ( xo, Yo, f ( xo, Yo)) dirigé par les vecteurs
ü = (1, O,p) et v = (0, 1, q) est tangent à la nappez= f(x, y) en son point Mo.
Le plan P a pour équation cartésienne :
z = f (xo, Yo) + p · (x - xo) + q · (y - Yo).
Lorsque p = q = 0, c'est-à-dire lorsque Xo est un extremum possible, il est clair
que le plan tangent à la nappe est horizontal.
Cette situation ressemble à ce qui se passe pour une fonction d'une variable,
lorsque la dérivée s'annule : la courbe admet en ce point une tangente horizontale.
Ce qui joue ici le rôle de la dérivée seconde c'est l'ensemble des trois dérivées
partielles secondes.
Démonstration (partielle) du théorème
Nous ne ferons la démonstration que dans le cas où s 2 - rt < 0 (le début de la
démonstration n'utilise pas ce fait).
La formule de Taylor-Lagrange (proposition 3.51 p. 113) exprime que
f(x,y) = f(X) = f(Xo+H) peut, au voisinage de Xo = (xo,Yo) être calculé grâce
à une formule du second degré en h et k.· En effet, on a, d'après cette proposition
(
1
2
2
f x, y)= f(xo + h, Yo + k) = f(xo, Yo) +ph+ qk + 2 (re h + 2se hk +tek ).
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Si 82 - rt > 0, alors on est §Ûr que f n'admet pas d'extremum relatif en Xo.
Si s 2 -rt = 0, on ne peut rien conclure: f(Xo) peut être un minimum relatif (dans
ce cas, forcément r ~ 0 et t ~ 0), un maximum relatif (dans ce cas, forcément
r ::;; O et t ::;; 0) ou ni maximum, ni minimum relatif.
Nous ne démontrerons pas en entier ce théorème, et nous admettrons certains
points (une preuve complète nécessite la connaissance des formes bilinéaires
symétriques, et pourrait alors être faite pour une fonction de n variables, pas
seulement pour deux variables). Nous utiliserons cependant plus loin les résultats
qu'il contient.
Une façon d'aider à comprendre ce théorème est de le rapprocher de la situation
décrite dans l'introduction (§ 3.6.1 p. 109)
Tout d'abord, la représentation graphique d'une fonction f de 2 variables, c'est
une nappe dans l'espace à trois dimensions, rapporté à un repère (0, i,J, k), ayant
comme équation z = f(x, y).
Admettons provisoirement le résultat suivant concernant le plan tangent à la
nappez= f(x, y) en un point Xo = (xo, Yo) (tout cela sera précisé lors de l'étude
de la différentiabilité) :
Lemme 3.53 Si f admet des dérivées- partielles p = ~~ (Xo) et q = ~~ (Xo),
le plan P passant par le point Mo = ( xo, Yo, f ( xo, Yo)) dirigé par les vecteurs
ü = (1, O,p) et v = (0, 1, q) est tangent à la nappez= f(x, y) en son point Mo.
Le plan P a pour équation cartésienne :
z = f (xo, Yo) + p · (x - xo) + q · (y - Yo).
Lorsque p = q = 0, c'est-à-dire lorsque Xo est un extremum possible, il est clair
que le plan tangent à la nappe est horizontal.
Cette situation ressemble à ce qui se passe pour une fonction d'une variable,
lorsque la dérivée s'annule : la courbe admet en ce point une tangente horizontale.
Ce qui joue ici le rôle de la dérivée seconde c'est l'ensemble des trois dérivées
partielles secondes.
Démonstration (partielle) du théorème
Nous ne ferons la démonstration que dans le cas où s 2 - rt < 0 (le début de la
démonstration n'utilise pas ce fait).
La formule de Taylor-Lagrange (proposition 3.51 p. 113) exprime que
f(x,y) = f(X) = f(Xo+H) peut, au voisinage de Xo = (xo,Yo) être calculé grâce
à une formule du second degré en h et k.· En effet, on a, d'après cette proposition
(
1
2
2
f x, y)= f(xo + h, Yo + k) = f(xo, Yo) +ph+ qk + 2 (re h + 2se hk +tek ).