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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR.n
'
âf
âf
On a pose p = âx (Xo), q = ây (Xo) et
â 2 f
r9 = âx 2 (Xo +OH)
Par hypothèse, Xo est un extremum possible, donc on a p = q = O.
On a donc
1
2
2
f(x, y) - f(xo, Yo) = 2(r9 h + 2s9 hk + t9 k ).
Pour montrer qu'il y a minimum en (xo, yo), il suffit d'établir que la quantité
entre parenthèses du membre de gauche T(h, k) = (r9 h 2 + 2s9 hk + t9 k 2 ) est
positive pour (h, k) dans un voisinage de (xo, yo). Il y aura au contraire maximum
en (xo, Yo) si cette quantité est toujours négative dans un voisinage de (xo, Yo).
T(h, k) peut être considéré comme un trinôme en h (sauf si r9 = 0, nous verrons
plus loin qu'on peut éliminer cette possibilité).
Le discriminant réduit de ce trinôme est
Considérons la fonction g des deux variables x, y définie par
Puisque les dérivées partielles secondes de f sont continues (f est de classe C 2 ),
g est bien entendu continue sur U.
D'autre part, g(xo, Yo) = 8 2 - rt et g(xo +Oh; Yo + Ok) = s~ - r9t9.
Puisque par hypothèse s 2 - rt < 0, on a g(x0 , y0 )
(il suffit de considérer le voisinage ] - oo, O[ de g(xo, yo) en utilisant la proposition
3.5 p. 66; on peut aussi raisonner avec é = _ g(x~ Yo) ).
Donc si X= (x, y) est dans ce voisinage de Xo, on est sûr que Xo + H est aussi
dans cette boule, et on a donc g(xo +Oh, Yo + Ok)
{sinon g(xo +Oh, Yo + Ok) = s~ ~ 0) donc T(h, k) est un vrai trinôme en h.)
Mais on a!).'= k 2 g(xo +Oh; Yo + Ok), donc !).' ~O.
Or, un trinôme de discriminant négatif ou nul garde un signe constant, celui du
coefficient dominant.
On peut donc affirmer que T(h, k) est du signe de r9.
Mais puisque 8 2 - rt < 0, il est impossible que r soit nul ;
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR.n
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On a pose p = âx (Xo), q = ây (Xo) et
â 2 f
r9 = âx 2 (Xo +OH)
Par hypothèse, Xo est un extremum possible, donc on a p = q = O.
On a donc
1
2
2
f(x, y) - f(xo, Yo) = 2(r9 h + 2s9 hk + t9 k ).
Pour montrer qu'il y a minimum en (xo, yo), il suffit d'établir que la quantité
entre parenthèses du membre de gauche T(h, k) = (r9 h 2 + 2s9 hk + t9 k 2 ) est
positive pour (h, k) dans un voisinage de (xo, yo). Il y aura au contraire maximum
en (xo, Yo) si cette quantité est toujours négative dans un voisinage de (xo, Yo).
T(h, k) peut être considéré comme un trinôme en h (sauf si r9 = 0, nous verrons
plus loin qu'on peut éliminer cette possibilité).
Le discriminant réduit de ce trinôme est
Considérons la fonction g des deux variables x, y définie par
Puisque les dérivées partielles secondes de f sont continues (f est de classe C 2 ),
g est bien entendu continue sur U.
D'autre part, g(xo, Yo) = 8 2 - rt et g(xo +Oh; Yo + Ok) = s~ - r9t9.
Puisque par hypothèse s 2 - rt < 0, on a g(x0 , y0 )
(il suffit de considérer le voisinage ] - oo, O[ de g(xo, yo) en utilisant la proposition
3.5 p. 66; on peut aussi raisonner avec é = _ g(x~ Yo) ).
Donc si X= (x, y) est dans ce voisinage de Xo, on est sûr que Xo + H est aussi
dans cette boule, et on a donc g(xo +Oh, Yo + Ok)
{sinon g(xo +Oh, Yo + Ok) = s~ ~ 0) donc T(h, k) est un vrai trinôme en h.)
Mais on a!).'= k 2 g(xo +Oh; Yo + Ok), donc !).' ~O.
Or, un trinôme de discriminant négatif ou nul garde un signe constant, celui du
coefficient dominant.
On peut donc affirmer que T(h, k) est du signe de r9.
Mais puisque 8 2 - rt < 0, il est impossible que r soit nul ;