3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
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Si on a r > 0, alors par continuité de la fonction ~:{, on est sûr d'avoir aussi
ro > O si X est suffisamment près de Xo, et donc dans ce voisinage de Xo, on a
T(h, k) ~ 0, donc
f (X) - f (Xo) ~ O.
et f admet donc un minimum relatif en Xo.
Si on a r < 0, de la même façon ro < 0 dans un voisinage de Xo et T(h, k) étant
négatif, f admet un maximum relatif en Xo.
Il est plus difficile de montrer qu'à coup sûr on n'a aucun extremum en Xo si
52 - rt > 0 : nous admettrons ce point.
Il n'y a de toutes façons rien à démontrer lorsque s 2 - rt = O.
0
-
3. 7 Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables
3. 7 .1 1 ntrod uction
La notion de dérivabilité d'une fonction d'une variable pouvait être caractérisée par
.
, . ,
. f(x) - f(xo)
. f(xo + h) - f(xo)
l'existence du nombre denve f'(xo) = hm
= hm
h
;
x---+xo
x - Xo
h---+0
cette approche a été généralisée avec la notion de dérivation partielle.
Une autre façon de caractériser la dérivabilité, évidemment équivalente pour une
fonction d'une variable, est l'existence d'un développement limité à l'ordre 1.
Rappelons que f (fonction de IR. dans IR.) admet un développement limité à l'ordre
1 au voisinage de x0 s'il existe 2 réels a0 et ai et une fonction c définie au voisinage
de xo tels que pour tout x dans ce voisinage de xo, on a
f(x) = ao + ai(x - xo) + (x - xo) c(x)
avec lim c(x) =O.
x---+xo
ou ce qui revient au même en posant h = x - xo, soit x = xo + h et
e(h) = c(xo + h) = c(x)
f(xo + h) = ao + aih + he(h)
avec lim e(h) =o.
h---+0
On démontre, sans grande difficulté, que dans ce cas, f est dérivable en xo et que
ao = f(xo) et ai = f'(xo).
C'est la tentative de généralisation de ce point de vue aux fonctions de plusieurs
variables qui est à l'origine de la notion de différentiabilité. Contrairement à ce
qui se passe avec les fonctions d'une variable, pour une fonction de plusieurs
variables, la différentiabilité n'est pas équivalente à la dérivabilité (partielle). Nous
établirons cependant des liens importants entre la notion de différentiabilité d'une
fonction en un point et les dérivées partielles de la fonction en ce point.