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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
3.7.2 Rappel d'algèbre linéaire
On appelle forme linéaire sur un ~-espace vectoriel E toute application linéaire
de E vers R L'ensemble des formes linéaires sur E est le dual de E noté E*.
Si E est un espace vectoriel de dimension p, rapporté à une base B, une forme
linéaire u sur E est caractérisée (comme toute application linéaire) par sa matrice
M. Cette matrice a 1 seule ligne {dimension de l'espace vectoriel d'arrivée~) et p
colonnes (dimension de l'espace vectoriel de départ E). On parle de matrice ligne.
Si E = ~P, il est naturellement rapporté à sa base canonique. Dans ce cas, on
a l'habitude d'identifier l'ensemble des formes linéaires sur ~P à l'ensemble des
matrices-lignes (1 ligne et p colonnes).
On écrit, dans ce cas, si u est une forme linéaire sur ~P
U = ( Ul · · · Up).
Notant en colonne les éléments de ~P, si XE ~P, on a dans ce cas
p
= LUiXi.
i=l
Utilisant Je produit scalaire de nt•, il existe un uuique vecteur U ~ (l) E lt'
tel que pour tout X E ~P, on a
p
u(X) = U ·X= LUiXi·
i=l
En résumé, à toute forme linéaire u sur ~P correspond de façon biunivoque un
p-uple de réels et on a le choix des points de vue: on peut écrire ce tableau comme
une matrice ligne (c'est ce que nous ferons pour la différentielle d'une fonction)
ou comme une matrice colonne, c'est-à-dire un vecteur de ~P (c'est ce que nous
ferons pour la notion de gradient).
3. 7 .3 Définition de la différentiabilité
Définition 3.54 Soit f une fonctions de p variables. On considère que f va de
~P (ensemble des vecteurs-colonnes de p lignes) vers ~. Soit Xo = (x~o) un
XpO
point intérieur à 'D(f) (il existe une boule centrée en Xo incluse dans 'D(f)).