3, 7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
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On dit que f est différentiable en Xo s'il existe une forme linéaire u sur ~P et une
application c de ~P vers ~ définie au voisinage de 0 tels que pour tout H E ~P
proche de 0, on a
(3.25)
f (Xo + H) = f (Xo) + u(H) + llHll c(H)
avec lim c(H) =O.
H---+0
Quelques remarques concernant cette définition
• Les termes « au voisinage », « proche » sont volontairement vagues, pour plus
parler à l'imagination. Ils peuvent très facilement être précisés : on doit comprendre que cette définition assure l'existence d'un réel strictement positif r tel
que
- La boule B(Xo, r) est incluse dans V(!).
- La boule B(O, r) est incluse dans 'D(c), l'ensemble de définition de c.
- La formule (3.25) est valable pour tout HE B(O, r).
• H est un vecteur de RP, donc H = (~J
• c est une fonction de p variables ; la notion de limite qui apparaît dans la formule
(3.25) est celle de limite d'une fonction de plusieurs variables.
• La norme qui intervient dans la formule (3.25) (et dans la notion de boule qui
précise la notion de proximité) est comme d'habitude n'importe quelle norme
usuelle, par exemple la norme euclidienne, mais pas forcément. Il est facile de
démontrer que changer de norme ne change pas la notion de différentiabilité
associée.
• L'existence de la forme linéaire u qui apparaît dans la définition peut être remplacée (ce qui est équivalent d'après les rappels du§ précédent) par l'existence
de p nombres réels u1, ... , up. La formule (3.25) devient alors
(3.26)
J(Xo + H) = f (Xo) + u1h1 + · · · + uphp + llHll c(H) avec lim c(H) = O.
H---+0
• Dans (3.25), paradoxalement, ce n'est pas la première partie qui est la plus
difficile à vérifier. Quelle que soit la forme linéaire u sur ~P, il est toujours
possible de poser, pour H proche de 0 et non nul,
(H) = f (Xo + H) - f (Xo) - u(H)
c
llHll
et c(O) =O.
Avec cette fonction c, il est facile de voir que l'égalité est vérifiée!
Ce qu'il est important de vérifier, c'est au contraire la deuxième partie de (3.25),
à savoir le fait que lim c(H) =O.
H---+0
On pourrait d'ailleurs remplacer cet énoncé par celui-ci, plus court, mais qui est
moins parlant :
e.
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On dit que f est différentiable en Xo s'il existe une forme linéaire u sur ~P et une
application c de ~P vers ~ définie au voisinage de 0 tels que pour tout H E ~P
proche de 0, on a
(3.25)
f (Xo + H) = f (Xo) + u(H) + llHll c(H)
avec lim c(H) =O.
H---+0
Quelques remarques concernant cette définition
• Les termes « au voisinage », « proche » sont volontairement vagues, pour plus
parler à l'imagination. Ils peuvent très facilement être précisés : on doit comprendre que cette définition assure l'existence d'un réel strictement positif r tel
que
- La boule B(Xo, r) est incluse dans V(!).
- La boule B(O, r) est incluse dans 'D(c), l'ensemble de définition de c.
- La formule (3.25) est valable pour tout HE B(O, r).
• H est un vecteur de RP, donc H = (~J
• c est une fonction de p variables ; la notion de limite qui apparaît dans la formule
(3.25) est celle de limite d'une fonction de plusieurs variables.
• La norme qui intervient dans la formule (3.25) (et dans la notion de boule qui
précise la notion de proximité) est comme d'habitude n'importe quelle norme
usuelle, par exemple la norme euclidienne, mais pas forcément. Il est facile de
démontrer que changer de norme ne change pas la notion de différentiabilité
associée.
• L'existence de la forme linéaire u qui apparaît dans la définition peut être remplacée (ce qui est équivalent d'après les rappels du§ précédent) par l'existence
de p nombres réels u1, ... , up. La formule (3.25) devient alors
(3.26)
J(Xo + H) = f (Xo) + u1h1 + · · · + uphp + llHll c(H) avec lim c(H) = O.
H---+0
• Dans (3.25), paradoxalement, ce n'est pas la première partie qui est la plus
difficile à vérifier. Quelle que soit la forme linéaire u sur ~P, il est toujours
possible de poser, pour H proche de 0 et non nul,
(H) = f (Xo + H) - f (Xo) - u(H)
c
llHll
et c(O) =O.
Avec cette fonction c, il est facile de voir que l'égalité est vérifiée!
Ce qu'il est important de vérifier, c'est au contraire la deuxième partie de (3.25),
à savoir le fait que lim c(H) =O.
H---+0
On pourrait d'ailleurs remplacer cet énoncé par celui-ci, plus court, mais qui est
moins parlant :
e.