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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
Proposition 3.55 f est différentiable en Xo si et seulement si il existe une forme
linéaire u sur JRP telle que
1 . f(Xo + H) - f (Xo) - u(H) _ O
J°!!;o
JIHJI
- .
Traduisons maintenant cette notion de différentiabilité dans les cas les plus usuels,
c'est-à-dire lorsque f est une fonction de deux ou trois variables.
Cas d'une fonction de deux variables
Une fonction f de 2 variables x et y est différentiable en Xo = (xo, Yo) point
intérieur à V(!) lorsqu'il existe deux réels u1 et u2 et une fonction ê tels que
f(xo+h, Yo+k) = f(xo, Yo)+u1h+u2k+Vh 2 + k 2 ê(h, k) avec lim t:(h, k) =O.
(h,k)--+(0,0)
Cette caractérisation équivaut à
Il existe deux réels u1 et u2 tels que
lim
f(xo + h, Yo + k) - f(xo, Yo) - u1h - u2k =O.
(h,k)--+(0,0)
.../h2 + k2
Cas d'une fonction de trois variables
Une fonction f des trois variables x, y, z est différentiable en Xo = (xo, yo, zo)
point intérieur à V(!) si et seulement si il existe trois réels ui, u2, u3 et une
fonction ê de JR 3 vers JR, définie au voisinage de 0 tels que
f(xo + h, Yo + k, zo + l) = f(xo, Yo, zo) + u1h + u2k + u3l + Vh 2 + k 2 + l 2 t:(h, k, l)
avec
lim
ê(h, k, l) =O.
(h,k,l)--+(0,0,0)
Ce qui revient à
Il existe trois réels u1, u2, u3 tels que
lim
f (xo + h, Yo + k, zo + l) - f (xo, Yo, zo) - u1h - u2k - u3l = O.
(h,k,t)--+(o,o,o)
Jh2 + k2 + z2
Voyons un premier exemple :
Soit f définie sur JR 2 par f(x, y) =a+ bx + cy + ax 2 + (3xy + 'YY 2
Montrons que f est différentiable en (0, 0).
On a f(O, 0) =a, donc la formule définissant f ressemble à ce qu'on doit établir
si on prend b = u1 et c = u2, à condition que les 3 derniers termes puissent être
assimilés à llHllt:(H), si on écrit
f(O + h, 0 + k) =a+ bh + ck + (ah 2 + (3hk + "fk 2 ).