3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
121
,
.
(h k)
ah2 + /3hk + "fk2
b'
1
On doit necessairement poser é , =
: on a 1en, a ors
Jh2 + k2
f(O + h, 0 + k) = f(O, 0) + bh + ck + ll(h, k)ljE:(h, k).
Il n'y a plus qu'à montrer que la fonction é qu'on s'est donnée convient, c'est-à-dire
qu'elle vérifie
lim é(h, k) =O.
(h,k)-+(0,0)
Appliquons la technique de majoration de la proposition 3.33 p. 86. On a
lé(h k)I = 1 ah2 + f3hk + "fk2 I
,
Jh2 + k2
h2
lhl lkl
k2
~ lai vh2 + k2 + l/31 vh2 + k2 + l' YI vh2 + k2
h2 + k2
Jh2 + k2Jh2 + k2
h2 + k2
~ lai vh2 + k2 + 1/31
vh2 + k2
+ l' YI vh2 + k2
~(lai+ l/31 + l'Yl)vh 2 + k 2 ---+
o.
(h,k)-+(0,0)
On a donc obtenu ce qu'on voulait, à savoir
lim é(h, k) = 0, et f est bien
(h,k)-+(0,0)
différentiable en (0, 0).
On voit sur cet exemple, que cette définition est franchement lourde à manier, et
on a hâte de découvrir un peu plus loin une condition suffisante de différentiabilité
plus facile à utiliser.
Auparavant, nous allons définir ce qu'on appelle la différentielle d'une fonction en
un point.
Définition 3.56 Soit f une fonction de JR.P dans IR, On suppose que f est différentiable en Xo.
Alors la forme linéaire u = ( u1 · · · up) qui intervient dans la définition s'appelle
la différentielle de f en Xo. On la note u = dfx 0
df Xo est une forme linéaire, donc pour tout H E JR.P, df x 0 ( H) est un réel.
Nous devons à présent énoncer une propriété rassurante :
Proposition 3.57 La différentielle d'une fonction f en un point Xo, si elle existe,
est unique.