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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JR.P VERS R"
Preuve Supposons que la fonction f soit différentiable de deux façons en Xo :
D'une part, il existe une forme linéaire u et une fonction é telles que
f (Xo + H) = f (Xo) + u(H) + llHll é(H) avec lim é(H) = O.
H--tO
D'autre part, il existe une forme linéaire v et une fonction f telles que
f (Xo + H) = f (Xo) + v(H) + llHll f(H)
avec lim f(H) = O.
H--tO
Alors on en déduit que pour tout H suffisamment proche de 0, on a
(3.27)
(u - v)(H) = llHll (f- é)(H).
u - v est une forme linéaire et f - é est une fonction qui tend vers 0 lorsque
H-+0.
Montrons que la forme linéaire u-v est nulle. Procédons par l'absurde: on suppose
qu'il existe Y E JRP tel que (u - v)(Y) =f=. 0 (remarquons que Y est forcément non
nul). On a alors
l(u - v)(Y)I = K 0
llYll
> .
Pour tout t E JR*, le vecteur H = tY est tel que
l(u - v)(H)I = l(u - v)(tY)I = lt (u - v)(Y)I = K 0
llHll
lltYll
ltl llYll
> .
Donc l(u - v)(H)I = KllHll. Mais pour t suffisamment proche de 0, H = tY est
suffisamment proche de 0 pour que la formule (3.27) s'applique, et on a
l(u - v)(H)I = llHll l(f- é)(H)I.
On doit donc avoir l(f- é){H)I = K, mais ceci est incompatible avec le fait que
lim (f- é){H) =O.
H--tO
L'hypothèse que u - v n'est pas l'application nulle est donc absurde et on a donc
u - v = 0 et u = v.
D
La différentielle en Xo d'une fonction f différentiable en Xo est donc une forme
linéaire sur JRP. Mais les fonctions f ne sont pas forcément différentiables seulement
en un point, mais en général elle le sont sur tout un domaine U c V(!). Comme
pour la dérivabilité, ou d'autres notions analogues, on définit la différentiabilité et
la différentielle d'une fonction sur un domaine :
Définition 3.58 Une fonction f de plusieurs variables est dite différentiable sur
un domaine U c V(f) lorsqu'elle est différentiable en tout point Xo EU.
La différentielle de f est alors la fonction df, définie sur U, à valeurs dans
l'ensemble des formes linéaires sur JRP, qui associe à tout élément Xo E U la forme
linéaire df Xo.