3.7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
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Récapitulons : lorsque f est différentiable en Xo, la différentielle de f en Xo est
la forme linéaire df x 0 = u = ( u1 · · · Up).
Lorsque f est différentiable sur un domaine, la différentielle de f ( df) associe à
tout Xo EU la différentielle de f en Xo :
Notant (JRP)* l'ensemble des formes linéaires sur JRP (c'est ce qu'on appelle le dual
de JRP), on a
df :
U --t (JRP)*
Xo i-------+ dfxo·
df est ce qu'on appelle une forme différentielle.
Définition 3.59 On appelle forme différentielle sur un domaine ouvert U c JRP
toute application w, définie sur U et à valeurs dans l'ensemble des formes linéaires
sur JRP, c'est-à-dire à valeurs dans le dual (JRP) *.
u ----+ (JRP)*
w: Xo i-------+ wxo
avec
JRP ----+ lR
WX0
H i-------+ wx 0 (H).
Cette notion de différentielle d'une fonction df et surtout de forme différentielle,
qui sont donc des applications à valeurs dans un ensemble de formes linéaires
est assez difficile à comprendre. Heureusement, cela sera précisé un peu plus loin
lorsque nous aurons fait le lien avec les dérivées partielles.
D'autre part, nous verrons un point de vue équivalent, (en remplaçant vecteurslignes par vecteurs-colonnes) : celui de gradient d'une fonction qui est un cas
particulier de champ vectoriel, comme la différentielle d'une fonction est un cas
particulier de forme différentielle.
Une dernière remarque concernant l'interprétation «graphique» de la différentielle
d'une fonction f en Xo (dfx 0 ).
Remarque : Si f est différentiable en Xo, puisque pour H suffisamment «petit»,
on a f(Xo + H) = f(Xo) + dfx 0 (H) + llHllE(H) avec é(H) qui tend vers 0, il
est logique de considérer que le dernier terme est «négligeable», c'est-à-dire que
f(Xo) + dfx 0 (H) est une approximation de f(Xo + H).
On dit que dfx 0 est la forme linéaire tangente à f en Xo. Cela s'explique en
particulier en dimension 2.
Soit f une fonction de 2 variables, et z = f(x, y) l'équation de la nappe qui
représente f dans un repère de l'espace à trois dimensions. On suppose que
f est différentiable en (xo, yo). Pour (x, y) proche de (xo, Yo), c'est-à-dire pour
(x, y) = (xo + h, Yo + k) avec (h, k) « petit », on a donc
f(x, y) = f(xo + h, Yo + k) ~ f(xo, Yo) + df(x 0 ,y 0 )(h, k) = f(xo, Yo) + u1h + u2k
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Récapitulons : lorsque f est différentiable en Xo, la différentielle de f en Xo est
la forme linéaire df x 0 = u = ( u1 · · · Up).
Lorsque f est différentiable sur un domaine, la différentielle de f ( df) associe à
tout Xo EU la différentielle de f en Xo :
Notant (JRP)* l'ensemble des formes linéaires sur JRP (c'est ce qu'on appelle le dual
de JRP), on a
df :
U --t (JRP)*
Xo i-------+ dfxo·
df est ce qu'on appelle une forme différentielle.
Définition 3.59 On appelle forme différentielle sur un domaine ouvert U c JRP
toute application w, définie sur U et à valeurs dans l'ensemble des formes linéaires
sur JRP, c'est-à-dire à valeurs dans le dual (JRP) *.
u ----+ (JRP)*
w: Xo i-------+ wxo
avec
JRP ----+ lR
WX0
H i-------+ wx 0 (H).
Cette notion de différentielle d'une fonction df et surtout de forme différentielle,
qui sont donc des applications à valeurs dans un ensemble de formes linéaires
est assez difficile à comprendre. Heureusement, cela sera précisé un peu plus loin
lorsque nous aurons fait le lien avec les dérivées partielles.
D'autre part, nous verrons un point de vue équivalent, (en remplaçant vecteurslignes par vecteurs-colonnes) : celui de gradient d'une fonction qui est un cas
particulier de champ vectoriel, comme la différentielle d'une fonction est un cas
particulier de forme différentielle.
Une dernière remarque concernant l'interprétation «graphique» de la différentielle
d'une fonction f en Xo (dfx 0 ).
Remarque : Si f est différentiable en Xo, puisque pour H suffisamment «petit»,
on a f(Xo + H) = f(Xo) + dfx 0 (H) + llHllE(H) avec é(H) qui tend vers 0, il
est logique de considérer que le dernier terme est «négligeable», c'est-à-dire que
f(Xo) + dfx 0 (H) est une approximation de f(Xo + H).
On dit que dfx 0 est la forme linéaire tangente à f en Xo. Cela s'explique en
particulier en dimension 2.
Soit f une fonction de 2 variables, et z = f(x, y) l'équation de la nappe qui
représente f dans un repère de l'espace à trois dimensions. On suppose que
f est différentiable en (xo, yo). Pour (x, y) proche de (xo, Yo), c'est-à-dire pour
(x, y) = (xo + h, Yo + k) avec (h, k) « petit », on a donc
f(x, y) = f(xo + h, Yo + k) ~ f(xo, Yo) + df(x 0 ,y 0 )(h, k) = f(xo, Yo) + u1h + u2k