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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ~P VERS ~n
si df(xo,yo) = U = ( u1 u2)
Or, l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient
z = f(xo, Yo) + u1 (x - xo) + u2(y - Yo).
est un plan et l'approximation ci-dessus exprime que ce plan est très proche de la
nappez= f(x, y) lorsque (x, y) est proche de (xo, Yo). Ce plan est logiquement
tangent à cette nappe au point (xo, Yo).
3. 7 .4 Lien entre différentiabilité et dérivées partielles
Théorème 3.60 Soit f une fonction de p variables x1, ... , Xp différentiable en
Xo.
Alors f est partiellement dérivable par rapport à chacune de ses variables, et de
plus
( [)f
8f
)
dfx 0 = -(Xo) · · · -(Xo) .
8x1
8xp
(
h1)
p
En d'autres termes, si H =
; , on a dfx 0 (H) = ~ ::. (Xo) hi·
h
i=l
i
p
Une autre façon de comprendre ce théorème est la suivante:
Les composantes de la différentielle de f en Xo sont les dérivées partielles de f en
Xo.
Preuve Il suffit d'établir que pour tout indice i, lai-ème fonction partielle 9i de
f en Xo est dérivable en XiQ. Or, on a 9i(t) = f (xw, ... , X(i-l)O• t, X(i+l)O• ... , Xpo).
Donc 9i(Xi0 + h) = f(Xo +Hi) avec Hi est le vecteur de JRP dont toutes les
composantes sont nulle sauf la i-ème, qui vaut h. Pour h suffisamment petit, Hi
est dans le voisinage de 0 pour lequel la formule définissant la différentiabilité est
valable et on a
9i(Xi0 + h) = f(Xo +Hi)= f(Xo) + dfx 0 (Hi) + llHillë(Hi)
= 9i(Xi0) + U1.0 + · · · + Ui-1·0 + Uih + Ui+i·O + · · · + Up.0 + llHillê(Hi)
= 9i(Xi0) + Uih + lhlë(Hi)·
En effet, quelle que soit la norme usuelle considérée, on a llHll = lhl (vérification
immédiate).
0
d
9i(Xi0 + h) - 9i(Xi0) _ . + !hl (H·)
n a one
h
- Ui hë i •
Il est clair que lim Hi= 0, donc par composition de limite, on a lim ë(Hi) = 0, et
h~O
h~O
comme l~I = ±1 reste borné, le produit d'une fonction bornée par une fonction