3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
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qui tend vers 0 ayant une limite nulle (voir la proposition 3.13 p. 73), on a
lirn 0Jé(Hi) = 0 et on est sûr que
h->0 h
1 . 9i(Xi0 + h) - 9i(Xio)
lm
h
= Ui.
h-+0
Ceci signifie justement que 9i est dérivable en XiO et que gHxiO) = Ui·
Mais ceci montre que f est partiellement dérivable en Xo par rapport à Xi et que
ft(Xo) = Ui· Comme tout ceci est valable quel que soit l'indice i, on a terminé.D
8Xi
Attention ! La réciproque est fausse.
La meilleure façon de s'en convaincre est d'utiliser le théorème suivant.
Théorème 3.61 Si une fonction de plusieurs variables f est différentiable en
Xo, alors elle est continue en Xo.
Comme on a vu qu'il existe des fonctions qui admettent des dérivées partielles
et qui ne sont pas continues, on est sûr que ces fonctions ne sont pas non plus
différentiables.
Preuve Il suffit d'établir que lim f(X) = f(Xo), ou ce qui revient au même,
X-+Xo
que
lim f (Xo + H) - f (Xo) = O.
H-+0
Or, f étant différentiable en Xo, en posant df x 0 = ( ui · · · Up), on a
f(Xo + H) - f (Xo) = uihi + · · · + uphp + llHll é(H).
Lorsque H--+ 0, toutes ces composantes hi tendent vers 0, donc tous les termes
uihi ont pour limite 0, et il en est évidemment de même pour le terme llHll é(H).D
La liaison sera complète entre différentiabilité et dérivées partielles lorsqu'on aura
vu le théorème suivant :
Théorème 3.62 Si une fonction f de p variables est de classe ci sur un domaine
ouvert U c D(f), alors f est différentiable sur U.
Preuve Elle est basée sur la formule des accroissements finis (théorème 3.41
p. 99).
Soit Xo EU. U étant ouvert, il existe une boule ouverte B, centrée en Xo qui est
incluse dans U. f étant de classe ci sur U, elle l'est aussi dans B. B étant un
ouvert convexe, pour tout X = Xo + H E B, on peut donc écrire la formule des
accroissements finis : il existe ()H E]O, 1[ (()H dépend de H) tel que
p
8f
f(Xo + H) = f(Xo) +~hi {)xi (Xo + ()HH).