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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
Tenant compte de ce qu'on cherche à obtenir, on écrit
Il suffit donc de démontrer que lim ê(H) = 0, en ayant posé
H--+0
On montrera donc que pour tout indice i, on a lim Ei(H) = 0 avec
H--+0
hi (of
of
)
êi(H) = llHll OXi (Xo + eHH) - OXi (Xo) .
Or, on a l ll~ll I ~ 1, (ceci quelle que soit la norme considérée) donc
lêï(H)I ~ 1 :~ (Xo + OHH) - :~ (Xo)I ·
Mais pour H -t 0, on a bien sûr i OHH--+ 0, et puisque f est de classe ci, chaque
~f est continue en Xo, donc lim ~f (Xo + OHH) = ~f (Xo) et
~
H~~
~
lim 1 ~f (Xo + eHH) - ~f (Xo)I =o.
H --+0 UXi
UXi
On peut conclure que lim Ei(H) = 0 d'après le théorème 3.33 p. 86 et donc
H--+0
lim ê(H) = 0 et f est bien différentiable en Xo.
0
H--+0
Comme d'habitude, la réciproque est fausse, mais les contre exemples qui existent
ne sont pas très intéressants : ce sont des « cas pathologiques », qui amusent surtout
les poseurs d'exercices (méfiez-vous). En pratique, c'est la classe des fonctions de
classe ci qui est intéressante, et la plupart du temps vous démontrerez qu'une
fonction est différentiable sur un domaine U en écrivant :
« f est de classe C 1 sur U, donc f est différentiable sur U. »
1 Pour les amateurs de e, et pour être plus rigoureux, on peut raisonner ainsi : en exprimant une
limite pour H -+ 0, on détermine une boule de centre 0, de rayon T/ dans laquelle on a toujours
une certaine majoration valable par exemple pour (Xo + H). Mais (} étant plus petit que 1, on
est sûr que si H est dans telle boule de centre 0, BH est aussi dans cette boule, et si on avait une
certaine majoration pour par exemple (Xo + H), elle est aussi vraie pour (Xo + BH).