3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
127
Récapitulation
Schématiquement, on peut retenir que
~------~ ~ 1 f est partiellement dérivable 1
7 est de classe ci 1 ~ 1 f est différentiable 1 --'- 1
1
l!.
-rf est continue (de classe c 0 )
Chacune des implications inverses étant fausse. En particulier, il n'y a aucune
relation de causalité entre les deux assertions les plus à droite : la dérivabilité
partielle n'implique pas la continuité, et la continuité n'implique pas la dérivabilité
partielle.
Remarque : Dans la définition 3.44 (p. 108) des fonctions de classe en, on
demandait à une fonction, pour qu'elle soit de classe en' que toutes ses dérivées
partielles existent et soient continues jusqu'à l'ordre n. Grâce à ce qu'on vient de
voir, il suffira de vérifier que toutes les dérivées partielles existent jusqu'à l'ordre
net seulement que les dérivées partielles d'ordre exactement n sont continues.
En effet, si par exemple les dérivées partielles secondes de f sont continues, en
particulier les dérivées partielles d'ordre 1 se trouvent être de classe ci : elles
sont donc continues et f est alors de classe ci, donc continue. Finalement toutes
les dérivées de f jusqu'à l'ordre 2 sont continues donc f est de classe C 2 . Cette
remarque permet de vérifier beaucoup moins de continuités pour établir qu'une
fonction est de classe en.
3.7.5 Quelques applications de la différentiabilité
Forme linéaire tangente
Lors des commentaires explicatifs suivant l'énoncé du théorème 3.52 (p. 114)
sur la condition suffisante d'extremum pour une fonction de 2 variables, nous
avons signalé que le plan tangent à la nappez= f(x, y) au point (xo, Yo) avait
pour équation z = f(xo, Yo) + p(x - xo) + q(y - Yo), avec p = ~f (xo, Yo) et
q = ~; (xo, Yo). Nous sommes maintenant en mesure de le justifier l;sque f est
différentiable en (xo,yo), puisqu'alors on a vu (dans la remarque 3.7.3 p. 123)
que df(xo,yo) est la forme linéaire tangente à la fonction f en (xo, Yo).
On y a vu que plan tangent à la nappe en ce point a pour équation
z = f(xo, Yo) + ui(x - xo) + u2(Y - Yo), ui, u2 étant les composantes de df(xo,Yo)·
Or, ces composantes ont été déterminées au§ précédent: on a ui = p = ~~ (xo, yo)
âf
et u2 = q = ây (xo, Yo).
D
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Récapitulation
Schématiquement, on peut retenir que
~------~ ~ 1 f est partiellement dérivable 1
7 est de classe ci 1 ~ 1 f est différentiable 1 --'- 1
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l!.
-rf est continue (de classe c 0 )
Chacune des implications inverses étant fausse. En particulier, il n'y a aucune
relation de causalité entre les deux assertions les plus à droite : la dérivabilité
partielle n'implique pas la continuité, et la continuité n'implique pas la dérivabilité
partielle.
Remarque : Dans la définition 3.44 (p. 108) des fonctions de classe en, on
demandait à une fonction, pour qu'elle soit de classe en' que toutes ses dérivées
partielles existent et soient continues jusqu'à l'ordre n. Grâce à ce qu'on vient de
voir, il suffira de vérifier que toutes les dérivées partielles existent jusqu'à l'ordre
net seulement que les dérivées partielles d'ordre exactement n sont continues.
En effet, si par exemple les dérivées partielles secondes de f sont continues, en
particulier les dérivées partielles d'ordre 1 se trouvent être de classe ci : elles
sont donc continues et f est alors de classe ci, donc continue. Finalement toutes
les dérivées de f jusqu'à l'ordre 2 sont continues donc f est de classe C 2 . Cette
remarque permet de vérifier beaucoup moins de continuités pour établir qu'une
fonction est de classe en.
3.7.5 Quelques applications de la différentiabilité
Forme linéaire tangente
Lors des commentaires explicatifs suivant l'énoncé du théorème 3.52 (p. 114)
sur la condition suffisante d'extremum pour une fonction de 2 variables, nous
avons signalé que le plan tangent à la nappez= f(x, y) au point (xo, Yo) avait
pour équation z = f(xo, Yo) + p(x - xo) + q(y - Yo), avec p = ~f (xo, Yo) et
q = ~; (xo, Yo). Nous sommes maintenant en mesure de le justifier l;sque f est
différentiable en (xo,yo), puisqu'alors on a vu (dans la remarque 3.7.3 p. 123)
que df(xo,yo) est la forme linéaire tangente à la fonction f en (xo, Yo).
On y a vu que plan tangent à la nappe en ce point a pour équation
z = f(xo, Yo) + ui(x - xo) + u2(Y - Yo), ui, u2 étant les composantes de df(xo,Yo)·
Or, ces composantes ont été déterminées au§ précédent: on a ui = p = ~~ (xo, yo)
âf
et u2 = q = ây (xo, Yo).
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