128
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Approximation d'une fonction de plusieurs variables
La formule définissant la différentiabilité, peut devenir une formule d'approximation si on lui supprime le dernier terme avec é. L'inconvénient de cette démarche
est qu'il n'y a aucune majoration de l'erreur commise, mais il peut être pratique
de procéder ainsi
Exemple:
xeY
Pour f(x, y, z) = - (voir p. 102), on a f(2, 0, 1) = 2.
z
Que vaut approximativement (sans calculatrice) f(x, y, z) lorsque :
X = 1,997 j y= 0,002 j Z = 1,0012?
Réponse:
On utilise la formule d'approximation, valable pour (x, y, z) «proche» de (2, 0, 1),
ce qui est le cas ici 2
of
of
of
f(x, y, z) ~ f(2, 0, 1) + (x - 2) ox (2, 0, 1) +(y- 0) oy (2, 0, 1) + (z -1) oz (2, 0, 1).
Of
eY
Of
On a - 0 (x,y,z) = -
donc - 0 (2,0,1) = 1
X
Z
X
Of
xeY
Of
- 0 (x,y,z) = -
donc - 0 (2,0, 1) = 2
y
z
y
Of
xeY
Of
- 0 (x,y,z) = - - 2 donc - 0 (2,0, 1) = -2.
X
Z
X
Puisque x - 2 = -0,003; y - 0 = 0,002; z - 1 = 0,0012, on obtient
f(x, y, z) = f(l,997; 0,002; 1,0012) ~ 2 + (-0,003).1+0,002.2 + 0,0012.(-2)
~ 2 - 0,003 + 0,004 - 0,002 4 = 1,998 6.
Un calcul direct à la calculatrice donne 1,997xexp(0,002)/1,0012 ~ 1,998 599 677051.
La valeur approchée que l'on a trouvée n'était pas si mauvaise.
3.7.6 Compléments sur les formes différentielles
On se placera dans ce § uniquement dans le cadre de fonctions de 2 ou 3 variables
x, y et éventuellement z.
Rappelons qu'une forme différentielle w est une fonction de JR. 2 vers son dual (JR. 2 )*
(ou de JR. 3 vers son dual (JR. 3 )*).
2 Il est impossible de préciser cette notion de proximité ! Les physiciens eux ne font pas tant de
« chichis » et sont tout à fait convaincus de la proximité de ces deux triplets!