3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
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Formes différentielles de base
Il est d'usage de noter dx la forme différentielle constante qui associe à tout
X E ~ 2 le premier élément de la base canonique de (~ 2 )*, qui est la forme linéaire
de matrice ( 1 0), associant à tout élément ( ~) de ~ 2 le réel ( 1 0) ( ~) = h.
On a donc 'ïl(x,y) E ~ 2 , dx(x,y) = (i o) et
'ïl(x,y)E~ 2 , 'ï!(h,k)E~ 2 ,
dx(x,y)(h, k) = h.
De la même façon on définit dy, forme différentielle constante, associant à tout
X E ~ 2 le deuxième élément de la base canonique de (~ 2 )*, ayant pour matrice
(o 1).
On a donc
'ïl(x, y) E ~ 2 , 'ï!(h, k) E ~ 2 ,
dY(x,y)(h, k) = k.
(Dans ~ 3 la définition de dx, dy et dz est analogue).
Expression de la différentielle dans cette base
Avec ces conventions, on note alors
Cette notation signifie que la forme différentielle df associe à tout (x, y) E ~ 2 la
forme linéaire df(x,y) = ~~ (x, y)dx(x,y) + ~~ (x, y)dY(x,y)·
Cette forme linéaire associe à tout (h, k) E ~ 2 le réel
D'une façon générale, une forme différentielle w se décompose dans la « base »
( dx, dy), sous la forme
u1 et u2 sont deux fonctions à valeurs réelles ayant le même ensemble de définition
quew.
Un problème important que nous traiterons au chapitre suivant consiste à savoir
déterminer quand une forme différentielle w peut s'écrire comme la différentielle
d'une fonction f: à quelle condition sur w = u1dx+u2dy peut-ellè s'écrire w = df,
'
' d'
âfd
âfd ?
c est-a- ire w = - x + - y .
âx
ây