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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS 1_n
3.7.7 Complément sur le gradient
Cette notion de gradient d'une fonction de plusieurs variables n'est en fait qu'un
deuxième aspect de la même théorie de la différentiation d'une fonction.
Soit f une fonction de 2 (ou 3) variables (cas les plus souvent rencontrés en
pratique). On suppose que f est de classe ci sur un domaine U. Nous allons
travailler dans JR 3 pour fixer les idées mais c'est pareil pour JR 2 (ou même JRP)
Alors le gradient de f est une fonction vectorielle, définie sur U, à valeurs dans
~
JR 2 (ou JR 3 ), notée gradf. Notons qu'à cause de son utilisation principalement
en physique, l'interprétation prioritaire, dans cette situation est que U est un
sous-ensemble de JR 3 considéré comme ensemble de points alors que grad f est à
valeurs dans JR 3 considéré comme ensemble de vecteurs.
On pose, pour tout point X de U,
------=---*
gradf(X) =
Le gradient d'une fonction de plusieurs variables est donc un champ vectoriel (ou
champ de vecteurs), c'est-à-dire une fonction définie sur un domaine U de points
de l'espace, à valeurs dans l'ensemble des vecteurs de l'espace.
D'une façon générale, un champ de vecteurs V est caractérisé par ses fonctions
composantes Vi (1 ~ i ~ 3), qui ont le même ensemble de définition que V. On a,
pour tout point X E U,
( vi(X))
V (X) = v2(X) .
v3(X)
------=---*
Les fonctions composantes du champ vectoriel grad f sont
âf
V i = -
ÔX
âf
V 2 = -
Ôy
Par analogie avec les formes différentielles, un problème important que nous
traiterons au chapitre suivant est de savoir dans quels cas un champ de vecteurs
V est en fait égal au gradient d'une fonction f.
Une interprétation graphique du gradient
Soit f une fonction des deux variables x et y, de classe ci sur un domaine U du
plan.