3,7 DIFFÉRENTIABILITÉ D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
131
A tout réel >. correspond un sous-ensemble de U, formé de tous les points X tels
que f(X) = >.. On appelle cet ensemble la courbe de niveau ou la ligne de niveau
.À de la fonction f.
Cette terminologie est issue de la géographie : sur une carte d'état-major, la ligne
de niveau lOOm est l'ensemble de tous les points de la carte qui correspondent
sur le terrain à un point d'altitude lOOm. Dans cette situation géographique,
l'application f associe à tout point de la carte l'altitude du point du terrain qu'il
représente.
Lorsqu'on représente la fonction f par une nappe de l'espace, d'équation z =
f(x, y), on peut retrouver cette interprétation : la ligne de niveau>. est l'ensemble
des points de coordonnées (x, y) dont le point correspondant de la nappe est à la
cote .z = >..
On a le théorème suivant, que nous ne démontrerons pas :
Théorème 3.63 Si f est une fonction de deux variables de classe ci sur un
domaine U, si Xo est un point de U tel que f(Xo) = >. et gradf(Xo) -=f. 0, alors
la ligne de niveau >. de la fonction f (qui passe forcément par Xo) admet en X 0
une tangente qui est orthogonale à grad}(X0).
Pour une fonction de trois variables f, on peut de la même façon introduire la
notion de surface de niveau, et on a le théorème analogue :
Théorème 3.64 Si f est une fonction de 3 variables de classe ci sur un domaine
U, si Xo est un point de U tel que f(Xo) = >. et grad J(Xo) -=f. 0, alors la surface
de niveau>. de la fonction f (qui fasse forcément par Xo) admet en Xo un plan
tangent qui est orthogonal à grad f ( Xo).
Exemple d'application : la tangente à une conique.
Vous savez peut-être que les courbes du plan d'équation f(x, y) = 0, f étant une
fonction polynôme de degré 2 en x et y, sont des coniques.
2
2
Par exemple, si f(x, y) = : 2 + ~ 2 - 1, la conique d'équation f(x, y) = 0 est une
ellipse ê.
Alors, la tangente T à cette ellipse en un de ses points Mo(xo, yo) est la droite
passant par Mo et orthogonale à grad f. Puisque
on a
âf
2xo
- 8 (xo, Yo) = - 2
X
a
et
------:--+grad f (Mo)= (
2;o).
2yo
b2
131
A tout réel >. correspond un sous-ensemble de U, formé de tous les points X tels
que f(X) = >.. On appelle cet ensemble la courbe de niveau ou la ligne de niveau
.À de la fonction f.
Cette terminologie est issue de la géographie : sur une carte d'état-major, la ligne
de niveau lOOm est l'ensemble de tous les points de la carte qui correspondent
sur le terrain à un point d'altitude lOOm. Dans cette situation géographique,
l'application f associe à tout point de la carte l'altitude du point du terrain qu'il
représente.
Lorsqu'on représente la fonction f par une nappe de l'espace, d'équation z =
f(x, y), on peut retrouver cette interprétation : la ligne de niveau>. est l'ensemble
des points de coordonnées (x, y) dont le point correspondant de la nappe est à la
cote .z = >..
On a le théorème suivant, que nous ne démontrerons pas :
Théorème 3.63 Si f est une fonction de deux variables de classe ci sur un
domaine U, si Xo est un point de U tel que f(Xo) = >. et gradf(Xo) -=f. 0, alors
la ligne de niveau >. de la fonction f (qui passe forcément par Xo) admet en X 0
une tangente qui est orthogonale à grad}(X0).
Pour une fonction de trois variables f, on peut de la même façon introduire la
notion de surface de niveau, et on a le théorème analogue :
Théorème 3.64 Si f est une fonction de 3 variables de classe ci sur un domaine
U, si Xo est un point de U tel que f(Xo) = >. et grad J(Xo) -=f. 0, alors la surface
de niveau>. de la fonction f (qui fasse forcément par Xo) admet en Xo un plan
tangent qui est orthogonal à grad f ( Xo).
Exemple d'application : la tangente à une conique.
Vous savez peut-être que les courbes du plan d'équation f(x, y) = 0, f étant une
fonction polynôme de degré 2 en x et y, sont des coniques.
2
2
Par exemple, si f(x, y) = : 2 + ~ 2 - 1, la conique d'équation f(x, y) = 0 est une
ellipse ê.
Alors, la tangente T à cette ellipse en un de ses points Mo(xo, yo) est la droite
passant par Mo et orthogonale à grad f. Puisque
on a
âf
2xo
- 8 (xo, Yo) = - 2
X
a
et
------:--+grad f (Mo)= (
2;o).
2yo
b2