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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
T est donc caractérisée par
MoM · gradf = 0
2xo
2yo
a 2 (x - xo) + b2(y - Yo) = 0
2
2
xox + YoY - Xo - Yo = 0
a2
b2
a2
b2
~ xox + YoY _ l = O
a2
b2
x2 y2
puisque Mo E ê donc a~ + b~ = 1.
3.8 Différentiation des fonctions de JR.P vers Rn
3.8.1 Définition par les fonctions coordonnées
Nous considérons dans ce§ des fonctions F, définies sur un domaine U de JRP,
à valeurs dans ]Rn. Ce sont donc des fonctions vectorielles, et en tant que telles,
elles ont des fonctions composantes fi (1 ~ i ~ n), définies sur le même ensemble
de définition que F.
Pour tout XE U, on considère donc F(X) = (fi~X)) et comme pour les notions
f n(X)
de limite, de continuité ... c'est par l'intermédiaire de l'éventuelle différentiabilité
des fonctions coordonnées fi que l'on définira la différentiabilité de F.
Définition 3.65 Soit F une fonction définie sur un domaine U de JRP, à valeurs
dans JRn, de fonctions composantes fi (1 ~ i ~ n). Alors on dit que f est différentiable en Xo E U lorsque toutes ses fonctions composantes sont différentiables en
Xo.
f est différentiable sur U lorsque toutes ses fonctions composantes sont différentiables sur U.
Bien entendu, on peut tenter de traduire ces définitions en utilisant la définition
de la différentiabilité d'une fonction à valeurs réelles.
Proposition 3.66 Avec les notations précédentes, une fonction F de JRP vers !Rn
est différentiable en Xo s'il existe n fois p réels Uij et n fonctions Ei tels que pour
tout X = Xo + H suffisamment proche de Xo,
p
Vi E {1, ... , n }, fi(Xo+H) = fi(Xo)+ L Uijhj+llHllEi(H) avec lim Ei(H) =O.
j=l
H-+OntP
La différentiabilité de Fen Xo demande donc entre autres l'existence den formes
linéaires Ui = ( Uil · · · Uip) sur JRP, donc l'existence d'un tableau den fois p