3.8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
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réels. Mais un tel tableau ne s'appelle-t-il pas une matrice? Si on écrit l'une en
dessous de l'autre les n matrices lignes correspondant à ces n formes linéaires, on
obtient une matrice de n lignes et p colonnes.
(un
( :
(uni
U~p)
( U~l
. ) =
.
.
.
Unp)
Unl
:: . U~p).
. .
Unp
A quoi correspond cette matrice? C'est la matrice d'une application linéaire U de
JRP vers ]Rn, dont les fonctions composantes sont justement les n formes linéaires
Ui·
D'autre part, la donnée des n fonctions de p variables éi revient exactement à
préciser une fonction vectorielle E, de fonctions composantes les éi, et préciser
que les n fonctions éi ont toutes 0 pour limite signifie exactement que E a pour
limite O~n.
Finalement, nous avons démontré la caractérisation suivante :
Proposition 3.67 Avec les notations précédentes, la fonction F est différentiable
en Xo si et seulement si il existe une application linéaire U de JRP vers ]Rn (ou ce
qui revient au même une matrice n lignes et p colonnes (uiih~i~n) et une fonction
l~j~p
de p variables E, également à valeurs dans ]Rn, définie au voisinage de O~P telles
que, pour H suffisamment petit on a
F(Xo + H) = F(Xo) + U(H) + llHllE(H) avec lim E(H) = O~n.
H--+OJRP
Dans cette situation, il est classique d'identifier l'application linéaire U et sa
matrice (uijh~i~n· Avec cette convention U = (uijh~i~n, et en notant en colonnes
l~j~p
l~j~p
le vecteur HE JRP, H = (~ 1 ), on a U(H) = ( u~i ·.. u~p ) (~ 1 ) = u H.
hp
Unl · · · Unp
hp
3.8.2 Différentielle d'une fonction vectorielle
De façon extrêmement logique, l'application linéaire U qui intervient dans la
proposition 3.67 est appelée la différentielle de Fen Xo, et on la note DFx 0 (plus
tard, on utilisera aussi la notation plus universelle dF).
Il est clair, d'après la propriété analogue pour les fonctions à valeurs réelles, que
la différentielle DFx 0 en Xo d'une fonction F vectorielle est unique.
Lorsque f est différentiable sur U, ce procédé définit donc une application sur U,
à valeurs dans l'ensemble des applications linéaires de JRP vers ]Rn (qui est noté
.C(JRP,JRn)) (ou ce qui revient au même, à valeurs dans l'ensemble des matrices n
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réels. Mais un tel tableau ne s'appelle-t-il pas une matrice? Si on écrit l'une en
dessous de l'autre les n matrices lignes correspondant à ces n formes linéaires, on
obtient une matrice de n lignes et p colonnes.
(un
( :
(uni
U~p)
( U~l
. ) =
.
.
.
Unp)
Unl
:: . U~p).
. .
Unp
A quoi correspond cette matrice? C'est la matrice d'une application linéaire U de
JRP vers ]Rn, dont les fonctions composantes sont justement les n formes linéaires
Ui·
D'autre part, la donnée des n fonctions de p variables éi revient exactement à
préciser une fonction vectorielle E, de fonctions composantes les éi, et préciser
que les n fonctions éi ont toutes 0 pour limite signifie exactement que E a pour
limite O~n.
Finalement, nous avons démontré la caractérisation suivante :
Proposition 3.67 Avec les notations précédentes, la fonction F est différentiable
en Xo si et seulement si il existe une application linéaire U de JRP vers ]Rn (ou ce
qui revient au même une matrice n lignes et p colonnes (uiih~i~n) et une fonction
l~j~p
de p variables E, également à valeurs dans ]Rn, définie au voisinage de O~P telles
que, pour H suffisamment petit on a
F(Xo + H) = F(Xo) + U(H) + llHllE(H) avec lim E(H) = O~n.
H--+OJRP
Dans cette situation, il est classique d'identifier l'application linéaire U et sa
matrice (uijh~i~n· Avec cette convention U = (uijh~i~n, et en notant en colonnes
l~j~p
l~j~p
le vecteur HE JRP, H = (~ 1 ), on a U(H) = ( u~i ·.. u~p ) (~ 1 ) = u H.
hp
Unl · · · Unp
hp
3.8.2 Différentielle d'une fonction vectorielle
De façon extrêmement logique, l'application linéaire U qui intervient dans la
proposition 3.67 est appelée la différentielle de Fen Xo, et on la note DFx 0 (plus
tard, on utilisera aussi la notation plus universelle dF).
Il est clair, d'après la propriété analogue pour les fonctions à valeurs réelles, que
la différentielle DFx 0 en Xo d'une fonction F vectorielle est unique.
Lorsque f est différentiable sur U, ce procédé définit donc une application sur U,
à valeurs dans l'ensemble des applications linéaires de JRP vers ]Rn (qui est noté
.C(JRP,JRn)) (ou ce qui revient au même, à valeurs dans l'ensemble des matrices n