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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
lignes, p colonnes). Cette application est notée DF; elle s'appelle la différentielle
de F, et elle est définie par
DF
u ---+ .C(JR.P, JR.n)
Xo i-------+ DFx 0
avec
DFx 0
JR.P ---+ ]Rn
: H
DFx 0 (H).
i-------+
On a quelques propriétés immédiates :
Proposition 3.68 Si F et G sont deux fonctions à valeurs dans JR.n, définies et
différentiables sur le même domaine U de JR.P, alors pour tous réels À,µ, on peut
affirmer que ÀF + µG est différentiable sur U et que
D(.XF + µG) = .XDF +µDG.
Cela signifie que pour tout Xo EU, on a l'égalité entre les applications linéaires
D(.XF + µG)x 0 = .XDFx 0 + µDGx 0 ,
donc que pour tout HE JR.P, on a l'égalité entre les vecteurs de JR.n
D(.XF + µG)x 0 (H) = .X(DFx 0 (H)) + µ(DGx 0 (H)).
Il suffit d'écrire la définition, par exemple avec la caractérisation de la proposition
3.67.
Proposition 3.69 Si Fest différentiable en Xo, alors Fest continue en Xo.
Il suffit de passer par les fonctions coordonnées, et d'utiliser la proposition 3.61
p. 125.
3.8.3 Expression de la différentielle, matrice jacobienne
En traduisant vectoriellement la propriété donnant l'expression de la différentielle
d'une fonction à valeurs réelles, on obtient
Théorème 3. 70 (et définition) Soit F une fonction définie et différentiable
sur un domaine U de JR.P, à valeurs dans JR.n. Alors toutes les fonctions composantes
fi de F admettent des dérivées partielles par rapport à toutes les p variables, et
de plus, si DFx 0 = U = (uijh~i~n, alors on a pour tout (i,j),
l~j~p
âfi
Uij = - 8 (Xo).
x· J