3,8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
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La matrice J ( F) =
, (qui est une matrice d'applications) s'apÔfn
Ôfn
ÔXi
ÔXp
pelle la matrice jacobienne de F. On a, pour tout Xo EU, J(F)(Xo) = DFx 0 •
De même l'adaptation vectorielle du théorème 3.62 p. 125 nous donne
Théorème 3. 71 Si F est une fonction définie sur un domaine U de ~P, à valeurs
dans ~n, si les fonctions composantes fi de F sont de classe ci sur U, (on dit
dans ce cas que F est de classe ci sur U), alors F est différentiable sur U.
Ce théorème est fondamental : c'est dans le cadre des fonctions de classe ci que
nous travaillerons désormais, et les fonctions différentiables que nous considérerons
seront toujours des fonctions de classe ci, même si on peut montrer qu'il existe
des fonctions différentiables à dérivées partielles non continues.
Exemple : : soit la fonction F de ~ 3 dans ~ 2 , définie par
F(
) -(x 2 y+~)-(fi(x,y,z))
x, y, z -
z
- f (
) .
x sin y é
2 x' Y' z
Les deux fonctions composantes fi et h de F sont évidemment de classe C 00 sur
leur ensemble de définition ~ x ~ x ~*. Donc F est différentiable sur cet ensemble,
et dF est caractérisée par la matrice jacobienne de F et on a
(
âfi
âx (x,y, z)
DF(x,y,z) = J(F)(x, y, z) = âf2
âx (x,y, z)
âfi
)
âz (x,y, z)
âh
âz (x,y,z)
(
2xy
sinyez
x2
1 )
- z2
.
x sinyé
x cosyez