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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
Pour tout H ~ (h, k, l) E 11. 3 (ou plutôt H ~ G) ) , sachant que f ~ ( :: ) est
telle que lim f(H) = (~),on a:
H-t(0,0,0)
F(x + h, y+ k, z + l)
= F(x,y,z) + ( . 2 xy
x
2
~ :2 ) (~) + llHllf(H)
smyez x cosyez x smyez
l
= (
x 2 y+t+2xyh+x 2 k-:2 l+llHllt:1(H)
) .
x sinyez + sinyéh + x cosyezk + x sinyezl + llHllë2(H)
Avant de continuer, il est intéressant de penser à observer ce que devient la notion
de différentiabilité, de différentielle, de matrice jacobienne d'une application f de
JR.P vers ]Rn dans les cas particuliers p = 1 ou n = 1.
Sin= 1, on est ramené à l'étude de la différentiabilité d'une fonction réelle de
plusieurs variables, ce qu'on a fait au§ 3.7 pp. 117 à 131. Notons que pour une
fonction différentiable f de JR.P vers JR, on a D f = df.
Sin= 1 et p = 1, on est en présence d'une fonction f réelle d'une seule variable.
La différentiabilité d'une telle fonction f en xo équivaut à sa dérivabilité en x0
et dans ce cas, on a dfxo qui est la forme linéaire h r---+ f'(xo)h. La matrice (? !)
d'une telle forme linéaire n'a dans ce cas qu'une ligne et qu'une colonne! C'est la
matrice ( f' ( xo)). En fait on assimile dans ce cas D f, df et f'.
Si p = 1 et n;;::: 2, alors f est une fonction vectorielle d'une seule variable t, notion
étudiée au chapitre 2. Dans ce cas, la différentiabilité de f équivaut à celle de ses
n fonctions composantes, donc à la dérivabilité de celles-ci. La matrice jacobienne
est dans ce cas une matrice colonne formée des dérivées des fonctions composantes.
Voyons maintenant deux propriétés importantes de la différentielle
Proposition 3.72 (Différentielle d'une application linéaire)
Soit U une application linéaire de JR.P vers ]Rn (U E .C(JRP,JR.n)). On identifie U et
sa matrice (Uijh~i~n·
l~j~p
Alors quel que soit Xo E JRP, U est différentiable en Xo et DU Xo = U (et U est
donc également continue en Xo : U est continue sur JRP).
Il est intéressant de comprendre ce qu'est dans cette situation la matrice jacobienne
de U.
C'est une matrice d'applications, et toutes ces applications sont constantes : on
note par abus de langage J(U) = U. C'est un abus de langage, car en fait, c'est
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
Pour tout H ~ (h, k, l) E 11. 3 (ou plutôt H ~ G) ) , sachant que f ~ ( :: ) est
telle que lim f(H) = (~),on a:
H-t(0,0,0)
F(x + h, y+ k, z + l)
= F(x,y,z) + ( . 2 xy
x
2
~ :2 ) (~) + llHllf(H)
smyez x cosyez x smyez
l
= (
x 2 y+t+2xyh+x 2 k-:2 l+llHllt:1(H)
) .
x sinyez + sinyéh + x cosyezk + x sinyezl + llHllë2(H)
Avant de continuer, il est intéressant de penser à observer ce que devient la notion
de différentiabilité, de différentielle, de matrice jacobienne d'une application f de
JR.P vers ]Rn dans les cas particuliers p = 1 ou n = 1.
Sin= 1, on est ramené à l'étude de la différentiabilité d'une fonction réelle de
plusieurs variables, ce qu'on a fait au§ 3.7 pp. 117 à 131. Notons que pour une
fonction différentiable f de JR.P vers JR, on a D f = df.
Sin= 1 et p = 1, on est en présence d'une fonction f réelle d'une seule variable.
La différentiabilité d'une telle fonction f en xo équivaut à sa dérivabilité en x0
et dans ce cas, on a dfxo qui est la forme linéaire h r---+ f'(xo)h. La matrice (? !)
d'une telle forme linéaire n'a dans ce cas qu'une ligne et qu'une colonne! C'est la
matrice ( f' ( xo)). En fait on assimile dans ce cas D f, df et f'.
Si p = 1 et n;;::: 2, alors f est une fonction vectorielle d'une seule variable t, notion
étudiée au chapitre 2. Dans ce cas, la différentiabilité de f équivaut à celle de ses
n fonctions composantes, donc à la dérivabilité de celles-ci. La matrice jacobienne
est dans ce cas une matrice colonne formée des dérivées des fonctions composantes.
Voyons maintenant deux propriétés importantes de la différentielle
Proposition 3.72 (Différentielle d'une application linéaire)
Soit U une application linéaire de JR.P vers ]Rn (U E .C(JRP,JR.n)). On identifie U et
sa matrice (Uijh~i~n·
l~j~p
Alors quel que soit Xo E JRP, U est différentiable en Xo et DU Xo = U (et U est
donc également continue en Xo : U est continue sur JRP).
Il est intéressant de comprendre ce qu'est dans cette situation la matrice jacobienne
de U.
C'est une matrice d'applications, et toutes ces applications sont constantes : on
note par abus de langage J(U) = U. C'est un abus de langage, car en fait, c'est