3,8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
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pour tout X E JRP que l'on a J(U)(X) = U; on a en fait ~~~(X) = Uij (en
3
appelant Ui la i-ème fonction composante de U), donc le terme de la i-ème ligne
et j-ème colonne de J(U) est l'application constante t t-+ Uij, pour laquelle il est
d'usage de faire l'abus de langage de l'appeler Uij·
Preuve de la proposition 3. 72.
On a pour tout Xo E JRP et pour tout H E JRP, U étant linéaire
U(Xo + H) = U(Xo) + U(H) = U(Xo) + U(H) + llHllt:(H),
en posant t:(H) = OJRn pour tout H (t: est l'application nulle).
On a donc clairement lim t:(H) = OJRn, on peut conclure que U est différentiable
H--+Oav
en Xo et que DUx 0 = U.
0
On a aussi la proposition suivante, assez évidente
Proposition 3. 73 Soit F une fonction définie et différentiable sur un domaine
U de JRP, à valeurs dans ]Rn. Alors F est une fonction constante si et seulement si
on a DF = (0) (la matrice n lignes, p colonnes d'applications toutes nulles).
Preuve Il est clair que si F est une fonction constante, toutes ses fonctions
composantes sont aussi constantes et donc toutes les dérivées partielles 8
8 fi sont
Xj
nulles, (donc continues et F est de classe ci, donc différentiable même si on ne
l'avait pas mis dans l'hypothèse). On a donc DF = (0).
Réciproquement, si DF = (0), toutes les dérivées partielles de lai-ème fonction
composante fi sont nulles. fi est donc une fonction qui est constante par rapport
à chaque variable Xj : elle est donc constante, et puisque F a toutes ses fonctions
composantes qui sont constantes, elle est constante.
0
3.8.4 Différentielle d'une fonction composée
Le théorème fondamental pour la différentiation d'une fonction composée est la
généralisation de la formule classique (g o !)' = (g' o !) f'.
Théorème 3. 7 4 Soit F une fonction de JRP vers ]Rn, de classe ci sur un domaine
U C JRP.
Soit G une fonction de ]Rn vers ]Rm, de classe ci sur un domaine W c ]Rn.
On suppose que pour tout X EU, on a F(X) E W {en d'autres termes, on a
F(U) c W).
Alors Go F est différentiable sur U, et on a, pour tout Xo EU tel que F(Xo) =
YoEW
D(G o F)x 0 = DGy 0 o DFx 0 •
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pour tout X E JRP que l'on a J(U)(X) = U; on a en fait ~~~(X) = Uij (en
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appelant Ui la i-ème fonction composante de U), donc le terme de la i-ème ligne
et j-ème colonne de J(U) est l'application constante t t-+ Uij, pour laquelle il est
d'usage de faire l'abus de langage de l'appeler Uij·
Preuve de la proposition 3. 72.
On a pour tout Xo E JRP et pour tout H E JRP, U étant linéaire
U(Xo + H) = U(Xo) + U(H) = U(Xo) + U(H) + llHllt:(H),
en posant t:(H) = OJRn pour tout H (t: est l'application nulle).
On a donc clairement lim t:(H) = OJRn, on peut conclure que U est différentiable
H--+Oav
en Xo et que DUx 0 = U.
0
On a aussi la proposition suivante, assez évidente
Proposition 3. 73 Soit F une fonction définie et différentiable sur un domaine
U de JRP, à valeurs dans ]Rn. Alors F est une fonction constante si et seulement si
on a DF = (0) (la matrice n lignes, p colonnes d'applications toutes nulles).
Preuve Il est clair que si F est une fonction constante, toutes ses fonctions
composantes sont aussi constantes et donc toutes les dérivées partielles 8
8 fi sont
Xj
nulles, (donc continues et F est de classe ci, donc différentiable même si on ne
l'avait pas mis dans l'hypothèse). On a donc DF = (0).
Réciproquement, si DF = (0), toutes les dérivées partielles de lai-ème fonction
composante fi sont nulles. fi est donc une fonction qui est constante par rapport
à chaque variable Xj : elle est donc constante, et puisque F a toutes ses fonctions
composantes qui sont constantes, elle est constante.
0
3.8.4 Différentielle d'une fonction composée
Le théorème fondamental pour la différentiation d'une fonction composée est la
généralisation de la formule classique (g o !)' = (g' o !) f'.
Théorème 3. 7 4 Soit F une fonction de JRP vers ]Rn, de classe ci sur un domaine
U C JRP.
Soit G une fonction de ]Rn vers ]Rm, de classe ci sur un domaine W c ]Rn.
On suppose que pour tout X EU, on a F(X) E W {en d'autres termes, on a
F(U) c W).
Alors Go F est différentiable sur U, et on a, pour tout Xo EU tel que F(Xo) =
YoEW
D(G o F)x 0 = DGy 0 o DFx 0 •