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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
Preuve Pour bien suivre dans quel espace on se trouve, nous allons noter
différemment la norme de chaque espace :
• La norme d'un XE JRP sera notée llXlla·
• La norme d'un XE !Rn sera notée llXll.B·
• La norme d'un X E !Rm sera notée llXll-y·
On pose U = DFx 0 • Pour tout HE JRP suffisamment petit, on a
F(Xo + H) = F(Xo) + U(H) + llHllat'(H)
= Yo + U(H) + llHllat'(H).
avec
lim t'(H) = ÛJR.n
H--7ÜJRP
De même on pose V = DFy 0 • Pour tout K E !Rn suffisamment petit, on a
G(Yo + K) = G(Yo) + V(K) + llKll,aÊ(K) avec lim Ê(K) = ÛJR.m.
K--+OJRn
On a donc
(GoF)(Xo +H) = G(F(Xo+H)) = G(Yo+U(H)+ llHllat'(H)) = G(Yo+K),
à condition de poser K = U(H) + llHllat'(H). On en déduit
(Go F)(Xo + H) = G(Yo) + V(K) + llKll,aÊ(K)
=(Go F)(Xo) + v(u(H) + llHllat'(H)) + llKll,aÊ(K)
=(Go F)(Xo) + (Vo U)(H) + llHllaV(t'(H)) + llKll,aÊ(K)
= (GoF)(Xo) + (VoU)(H) + llHlla [v(t'(H)) + ll~litfi~K)l
=(Go F)(Xo) +(V o U)(H) + llHllaf(H).
On a obtenu la forme souhaitée pour établir le résultat, en posant
llU(H) + llHllat'(H)ll
f (H) = V ( t'(H)) +
llHlla
.Bi( U(H) + llHllat'(H)).
En effet, V o U est bien une application linéaire de JRP vers !Rm (en tant que
composée d'une application linéaire de JRP vers !Rn par une application linéaire de
!Rn vers !Rm) et il suffit donc d'établir que lim f(H) = ÛJR.m.
H--+ÜJRP
Or, on a
llU(H) + llHllat'(H)ll
llf(H)lh ~ llv(&(H))ll'Y +
llHlla
. B llt(u(H) + llHllat'(H))ll'Y
~ llv(&(H))ll'Y + ll~~~l.a11Ê(K)ll'Y + llt'(H)ll.allf(K)jj'Y.