3,8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE RP VERS Rn
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Dans ce dernier membre de gauche, pour H ---+ ÜR.P, il est clair que le premier
terme tend vers 0 (car l'application linéaire V est continue); le troisième et dernier
terme tend aussi vers 0 comme produit de deux fonctions qui tendent toutes deux
vers 0 (on compose des limites pour & : puisque K = U(H) + llHllat:(H), il est
clair que lim K = ÜR_n.)
H-tÜJRP
Il reste à montrer que le deuxième terme tend vers O. Or, c'est le produit de
jjt(K)ll 7 qui tend vers 0 comme on vient de le voir et du quotient 11~~~1.B :
il suffit de montrer que ce dernier quotient reste borné pour obtenir le résultat
souhaité, grâce au théorème 3.13, p. 73.
Nous utiliserons une astuce pour établir ce résultat : nous supposerons que la
norme Il· lia de ~Pest la norme du max, alors que pour la norme Il · l i .a de ~n
nous prendrons la norme somme (voir les normes usuelles p. 6). Si ce sont en fait
d'autres normes, l'équivalence des différentes normes usuelles (théorème 1.9 p. 7)
permettra néanmoins de conclure.
n
n
llU(H)ll1 = L lui1h1 + · · · + Uiphpl ~ L.:(lui1l lh1I + · · · + luipl lhpl)
i=l
i=l
On a donc V H E ~P, Il~ ~~~h ~ M donc ce quotient est borné, ce qui achève la
démonstration.
0
Traduisons cette propriété dans quelques cas particuliers :
Tout d'abord, si p = m = 1. Avec les notations de ce théorème, (F =fou, avec u
fonction vectorielle d'une seule variable, et f fonction réelle den variables), on a
pour to E V(F), Dut 0 = (ui ~to)) et en Yo = u(to), on a
u~(to)