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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRtP VERS :rntn
( âf
Dfyo = dfyo = âxi (Yo)
:L (Yo)). On a donc:
, âf
âf
i 0
(
u' (t ))
DFto = D(f o u)to = dfy0 o Dut0 = (axi (Yo) · · · âxn (Yo)) :
u~(to)
n
âf
n
âf
= ~ u~(to) âx/Yo) = ~ u~(to) âxi (u(to)).
On retrouve bien la formule du théorème 3.40 (p. 97), qui se trouve redémontré
dans toute sa généralité.
Ensuite, si p = n = m = 1, puisqu'on a vu que dans ce cas, DF = dF = F',
l'application linéaire dFx 0 = F'(Xo) associant à tout h réel le réel DFx 0 (h) =
F'(Xo)h, la formule s'écrit (Go F)'(Xo) = G'(Yo) o F'(Xo). Cette formule signifie
que pour tout h réel, on a
(Go F)'(Xo) h =(Go F)'(Xo)(h) = (G'(Yo) o F'(Xo))(h) = G'(Yo)(F'(Xo)h)
= G'(Yo)F'(Xo)h = G'(F(Xo))F'(Xo)h = ((G' o F) · F')(Xo)h.
Puisque ceci est vrai pour tout h réel, et pour tout Xo EU, on retrouve bien la
formule de dérivation des fonctions composées :
( G o F)' = ( G' o F)F'
Corollaire 3. 75 Avec les notations du Théorème 3. 7 4, la matrice jacobienne de
Go F est égale au produit de la matrice jacobienne de G par la matrice jacobienne
de F. Plus précisément, si Yo = F(Xo)
J(G o F)(Xo) = J(G)(Yo) · J(F)(Xo).
Ce résultat est évident en traduisant matriciellement la composition des applications linéaires U = DFx 0 et V= DGy 0 •
3.8.5 Jacobien d'une fonction de classe ci
Définition 3. 76 Soit F une fonction définie et de classe ci sur un domaine U de
]Rn, à valeurs dans ]Rn. Alors le jacobien de F est la valeur absolue du déterminant
jdet(J(F))i de la matrice jacobienne de F. (C'est donc une application de U vers
JR).
Remarque : Le jacobien d'une fonction ne peut être défini que si la dimension
de l'espace de départ est égale à la dimension de l'espace d'arrivée, puisque seules
les matrices carrées ont un déterminant.
(Rappel : Le déterminant d'une matrice carrée 2 x 2 se calcule ainsi :
. (a b)
1 a b 1
si M = c d , alors det(M) = c d =ad - be.
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRtP VERS :rntn
( âf
Dfyo = dfyo = âxi (Yo)
:L (Yo)). On a donc:
, âf
âf
i 0
(
u' (t ))
DFto = D(f o u)to = dfy0 o Dut0 = (axi (Yo) · · · âxn (Yo)) :
u~(to)
n
âf
n
âf
= ~ u~(to) âx/Yo) = ~ u~(to) âxi (u(to)).
On retrouve bien la formule du théorème 3.40 (p. 97), qui se trouve redémontré
dans toute sa généralité.
Ensuite, si p = n = m = 1, puisqu'on a vu que dans ce cas, DF = dF = F',
l'application linéaire dFx 0 = F'(Xo) associant à tout h réel le réel DFx 0 (h) =
F'(Xo)h, la formule s'écrit (Go F)'(Xo) = G'(Yo) o F'(Xo). Cette formule signifie
que pour tout h réel, on a
(Go F)'(Xo) h =(Go F)'(Xo)(h) = (G'(Yo) o F'(Xo))(h) = G'(Yo)(F'(Xo)h)
= G'(Yo)F'(Xo)h = G'(F(Xo))F'(Xo)h = ((G' o F) · F')(Xo)h.
Puisque ceci est vrai pour tout h réel, et pour tout Xo EU, on retrouve bien la
formule de dérivation des fonctions composées :
( G o F)' = ( G' o F)F'
Corollaire 3. 75 Avec les notations du Théorème 3. 7 4, la matrice jacobienne de
Go F est égale au produit de la matrice jacobienne de G par la matrice jacobienne
de F. Plus précisément, si Yo = F(Xo)
J(G o F)(Xo) = J(G)(Yo) · J(F)(Xo).
Ce résultat est évident en traduisant matriciellement la composition des applications linéaires U = DFx 0 et V= DGy 0 •
3.8.5 Jacobien d'une fonction de classe ci
Définition 3. 76 Soit F une fonction définie et de classe ci sur un domaine U de
]Rn, à valeurs dans ]Rn. Alors le jacobien de F est la valeur absolue du déterminant
jdet(J(F))i de la matrice jacobienne de F. (C'est donc une application de U vers
JR).
Remarque : Le jacobien d'une fonction ne peut être défini que si la dimension
de l'espace de départ est égale à la dimension de l'espace d'arrivée, puisque seules
les matrices carrées ont un déterminant.
(Rappel : Le déterminant d'une matrice carrée 2 x 2 se calcule ainsi :
. (a b)
1 a b 1
si M = c d , alors det(M) = c d =ad - be.