3,8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE RP VERS Rn
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Le déterminant d'une matrice carrée 3 x 3 peut se calculer ainsi (même si ce
n(':st :asc)toujours, loin de là, :a :ei~leure méthode) (règle de Sarrus) si M =
d e f , alors det(M) = d e f = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.)
g h i
g h i
L'intérêt de la notion de Jacobien apparaîtra lors de l'étude des changements de
variables dans les intégrales doubles et triples.
Nous allons néanmoins étudier dès maintenant les changements de variables
classiques, car ils fournissent des exemples intéressants.
Coordonnées polaires
y
M
(3.28)
y'
On considère la fonction 'If;, définie sur une partie de~*+ x ~par
'If; : (r,O) f------t (x,y) = (rcosO,rsinO).
L'interprétation graphique de ce changement de variable est classique : pour un
point M de coordonnées ( x, y) dans un repère orthonormé direct ( 0, ï, fJ, r désigne
la longueur du segment [OM] et 0 désigne une des mesures modulo 27r de l'angle
entre le vecteur ï et la demi-droite [OM). En utilisant les nombres complexes, il
est intéressant de noter que
r =lx+ iyl
et
0 = arg(x + iy) [27r].
Les fonctions coordonnées de 'If; sont 'l/J1: (r,O) f------t rcosO et 'l/J2: (r,O) f------t rsinO.
Elles sont clairement indéfiniment continûment dérivables, donc 'If; est différentiable
et sa matrice jacobienne est, en (r, 0)
(
â'lf;1 (r 0) â'lf;1 (r 0))
âr '
âO '
(cos 0 -r sin 0)
J('lf;)(r,e) = â'lj; 2
â'lj; 2
= sinO rcosO ·
âr (r,O) âO (r,O)
Le Jacobien de cette application est donc
ldet(J('lf;))I = lrcos 2 0+rsin 2 0I =r.