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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ffi?.P VERS JR"
Remarque: On peut se poser la question suivante: le sens de l'application 7/J est-il
bien choisi? Ne serait-il pas judicieux de considérer une fonction (x, y) i--t (r, 0)?
La réponse est clairement non. En effet, nous verrons un peu plus loin qu'il
n'est pas du tout simple d'exprimer (r, 0) en fonction de (x, y), d'une part, et
d'autre part, c'est paradoxalement dans ce sens que le « passage en polaires»
est simple, comme nous allons le voir ci-après. En effet, en général, on rencontre
des expressions en (x, y). Pour passer en polaires, il suffit de remplacer dans ces
expressions x et y par leurs valeurs respectives r cos 0 et r sin 0, et dans ce cas les
formules qui donneraient r et 0 en fonction de (x, y) ne sont pas utiles. Illustrons
cela pour une fonction f des deux variables (x, y).
Soit f une fonction de deux variables (x, y) définie et de classe C 1 sur une partie
U de JR 2 ne contenant pas (0,0). On suppose que f est une fonction à valeurs
dans JR, mais si f est à valeurs dans JRP, on peut faire exactement le même type
de raisonnement.
Lorsqu'on désire « passer en polaires », on pose ( x, y) = ( r cos 0, r sin 0) = 7/J ( r, 0).
Cela revient à étudier l'application F = f o 'l/;, qui est définie sur une partie
de JR*+ x lR et pour laquelle les variables sont (r, 0). On obtient facilement une
relation entre les dérivées partielles de F (par rapport à r et 0) et les dérivées
partielles de f (par rapport à x et y), soit en utilisant le théorème 3.40 p. 97, soit
le théorème 3.74 p. 137 (ou son corollaire).
La première méthode consiste à écrire :
âF âf âx âf ây
- = - - + - -
âr
âx âr ây âr
âF âf âx âf ây
âO = âx âO + ây âO.
{
âF
âf
âf
.
âr (r, 0) = âx (x, y) cos 0 + 8 (x, y) sm 0
Donc âF
âf
.
y âf
âO (r,O) = âx(x,y)(-rsmO) + ây(x,y)rcosO.
La seconde méthode revient bien sûr au même, et consiste à écrire le résultat pour
les matrices jacobiennes.
Puisque J(F)(r,B) = J(J o 7/J)(r,B) = J(J)(x,y)J('l/;)(r,O), on a
( âF
âF
)
(âf
âf
)
âr(r,O) 80 (r,O) = âx(x,y) ây(x,y) J('l/;)(r,B)
( âf
=
âx(x,y)
âf
) (cosO -rsinO)
ây(x,y)
sinO rcosO
( âf
âf
.
âf
.
âf
)
=
âx(x,y)cosO+ ây(x,y)smO âx(x,y)(-rsmO) + ây(x,y)rcosO .
On retrouve bien sûr le même résultat.