3.8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JRP VERS Rn
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Coordonnées cylindriques
prendre les coordonnées cylindriques d'un point de l'espace rapporté à un repère
orthonormé direct de l'espace consiste à remplacer les deux premières coordonnées
(x, y) de ce point par les coordonnées polaires (r, 0).
z
z ' ' ' '
M
1t
'j
0
1
y
m
(3.29)
X
Plus précisément, on considère l'application 'I/; définie sur une partie de IR. 3 (en
fait, une partie de JR.*+ x IR. x IR.) par 'l/;(r,O,z) = (x,y,z) = (rcosO,rsinO,z). Il
n'y a pas beaucoup de différences avec les coordonnées polaires. L'interprétation
graphique est la suivante :
Si M est le point de coordonnées (x, y, z) dans le repère orthonormé direct de
l'espace (0, ï,f, k), et si M n'est pas un point de l'axe (Oz), on considère le projeté
orthogonal m de M sur le plan ( Oxy) ; r représente la longueur Om, et 0 est une
mesure de l'angle entre le vecteur ï' et le vecteur Orh (à k27r près, bien sûr), le
plan (Oxy) étant orienté par le vecteur k, c'est-à-dire que (ï,j) = +~.
L'application 'I/; est évidemment de classe C 00 et est donc différentiable. Les
fonctions coordonnées de 'I/; sont ( ' l/;1 , 'l/;2, 'l/Ja) définies par
'l/;2 ( r, 0, z) = r sin 0
{
'l/;1 ( r, 0, z) = r cos 0
Sa matrice jacobienne en (r, 0, z) est
J('l/;)(r,B,z) =
Le Jacobien de 'I/; est donc ici aussi r (calcul immédiat).
'l/Ja(r, 0, z) = z.
(
cosO
sinO
0
-rsinO
rcosO
0
~).