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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ~P VERS fi.''
Coordonnées sphériques
Ce changement de variable dans ~ 3 est un peu plus difficile à manier que le
précédent.
z
H,
y
I
y
I
(3.30)
X
Commençons par son interprétation géométrique. On considère encore un point M,
de coordonnées (x,y,z) dans un repère orthonormé direct (O,ï,J,k). On suppose
ici aussi que M fi. (Oz), et on appelle m le projeté orthogonal de M sur le plan
(Oxy), et H le projeté orthogonal de M sur l'axe (Oz).
On appellera p la longueur 0 M (à ne pas confondre avec r = Om des coordonnées
cylindriques).
0 est la colatitude: c'est l'angle entre l'axe (Oz) orienté par k et le vecteur oM.
Cet est toujours « positif» (il est compris entre 0 et 7r).
La troisième coordonnée est aussi un angle, c'est l'angle

par ï et le vecteur orii.
On a oM = oJi + oH, avec d'une part oH = p cos 0 k et d'autre part,
oJi = llOriill(cosc.pï+sinc.pj), tandis que llOriill = psinO, de sorte que finalement
OM = psinOcosc.pï+ psinOsinc.pj+ pcosOk.
C'est ce calcul qui justifie la définition rigoureuse des coordonnées sphériques :
On considère la fonction

~*+ x ]O, 7r[ x~) par
ef>(p, 0, c.p) = (x, y, z) = (psin 0 cos {
Les fonctions coordonnées de

1, 2, ef>3) avec ef>2(p, 0, c.p) = psin c.p sin 0
ef>3(p, 0, Ces fonctions sont évidemment indéfiniment continûment dérivables, donc