3,8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JR.P VERS JR.n
différentiable et sa matrice jacobienne en (p, e, i.p) est
J(
cos 'P sin e p cos 'P cos e - p sin 'P sin e)
sin 'P sin e p sin 'P cos e p cos 'P sin e .
cos e
-psin e
0
Le déterminant de cette matrice, calculé par la règle de Sarrus vaut :
cos i.psin e
sini.psin e
cose
pcosi.pcose
psini.pcose
-psinO
-psini.psin e
pcosi.psinO
0
= p 2 cos 2 'P cos 2 e sine + p 2 sin 2 'P sin 3 e
+ p 2 sin 2 'P cos 2 e sine+ p 2 cos 2 'P sin 3 e
= p 2 sine( cos 2 'P cos 2 e + sin 2 'P sin 2 e
+ sin 2 'P cos 2 e + cos 2 'P sin 2 e)
= p 2 sin 0( cos 2 'P + sin 2 'P) ( cos 2 e + sin 2 e) = p 2 sine.
Finalement, le Jacobien de 145
Remarque: On rencontre parfois d'autres définitions des coordonnées sphériques:
par exemple, l'ordre des coordonnées peut être différent; on peut aussi remplacer
la colatitude par la latitude (qui varie entre - ~ et ~, comme la latitude sur le globe
terrestre qui varie entre 90° Sud et 90° Nord). L'important est de comprendre
la démarche, et de savoir calculer le Jacobien : on trouve dans tous les cas un
résultat qui a à peu près la même forme.
3.8.6 Matrice jacobienne de l'application réciproque
Nous allons généraliser dans ce§ la formule (J- 1 )' = f' 0 ~-l, qui donne la dérivée
de l'application réciproque d'un fonction réalisant une bijection d'un intervalle I
de R sur un autre intervalle J de R
Proposition 3. 77 Soit F une application définie sur un domaine ouvert U de ~P,
à valeurs dans ~P. On suppose que F réalise une bijection de U sur V= F(U), que
V est aussi un domaine ouvert. On suppose que F et son application réciproque
p-l (qui est définie sur V c RP) sont toutes deux de classe C 1 .
différentiable et sa matrice jacobienne en (p, e, i.p) est
J(
cos 'P sin e p cos 'P cos e - p sin 'P sin e)
sin 'P sin e p sin 'P cos e p cos 'P sin e .
cos e
-psin e
0
Le déterminant de cette matrice, calculé par la règle de Sarrus vaut :
cos i.psin e
sini.psin e
cose
pcosi.pcose
psini.pcose
-psinO
-psini.psin e
pcosi.psinO
0
= p 2 cos 2 'P cos 2 e sine + p 2 sin 2 'P sin 3 e
+ p 2 sin 2 'P cos 2 e sine+ p 2 cos 2 'P sin 3 e
= p 2 sine( cos 2 'P cos 2 e + sin 2 'P sin 2 e
+ sin 2 'P cos 2 e + cos 2 'P sin 2 e)
= p 2 sin 0( cos 2 'P + sin 2 'P) ( cos 2 e + sin 2 e) = p 2 sine.
Finalement, le Jacobien de 145
Remarque: On rencontre parfois d'autres définitions des coordonnées sphériques:
par exemple, l'ordre des coordonnées peut être différent; on peut aussi remplacer
la colatitude par la latitude (qui varie entre - ~ et ~, comme la latitude sur le globe
terrestre qui varie entre 90° Sud et 90° Nord). L'important est de comprendre
la démarche, et de savoir calculer le Jacobien : on trouve dans tous les cas un
résultat qui a à peu près la même forme.
3.8.6 Matrice jacobienne de l'application réciproque
Nous allons généraliser dans ce§ la formule (J- 1 )' = f' 0 ~-l, qui donne la dérivée
de l'application réciproque d'un fonction réalisant une bijection d'un intervalle I
de R sur un autre intervalle J de R
Proposition 3. 77 Soit F une application définie sur un domaine ouvert U de ~P,
à valeurs dans ~P. On suppose que F réalise une bijection de U sur V= F(U), que
V est aussi un domaine ouvert. On suppose que F et son application réciproque
p-l (qui est définie sur V c RP) sont toutes deux de classe C 1 .