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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
Alors, pour tout Xo E U, si Yo = F(Xo), les applications linéaires dFx 0 et
d(F- 1 )y 0 sont toujours inversibles et sont réciproques l'une de l'autre.
On a donc d(F- 1 ) = ( dF o p- 1 )-l
La matrice jacobienne de p-l est donc, en tout Yo EV,
De plus, le Jacobien de p-l est égal à l'inverse du Jacobien de F : précisément,
si Yo = F(Xo), alors
ldet( J (r' )(Yo)) 1 ~ 1
1
1 ·
det(J(F)(Xo))
Preuve Il suffit de différentier (c'est-à-dire de calculer la différentielle des deux
membres) une des identités caractérisant que F et p-l sont réciproques l'une de
l'autre :
p-l o F = idu.
On est dans une situation où toutes les applications rencontrées sont différentiables,
et on peut appliquer le théorème 3.74, p. 137. En tout Xo EU, si Yo = F(X0 ),
D(F- 1 )y 0 oDFx 0 = D(idu)x 0 •
Or, l'application idu est définie par idu : X r-----+ X. C'est donc la restriction à
U de l'application linéaire identité de JR.P, et on peut appliquer le résultat sur la
différentielle d'une application linéaire (Proposition 3.72 p. 136) :
D(idu)x 0 = D(id11.v )x 0 = idntv·
On a donc
D(F- 1 )y 0 o DFx 0 = idntv,
et cela prouve à la fois que D(F- 1 )y 0 et DFx 0 sont des applications linéaires
inversibles et qu'elles sont réciproques l'une de l'autre.
D
Il existe une amélioration de cette proposition nécessitant des hypothèses plus
faibles, mais nous ne pouvons pas le démontrer facilement :
Théorème 3. 78 (admis) Soit F une application définie sur un domaine ouvert
U de JR.P, à valeurs dans JR.P. On suppose que F réalise une bijection de U sur
V = F (U). On suppose que F est différentiable sur U, et que pour tout Xo E U,
dFx 0 est une application linéaire inversible de JR.P dans lui-même (ou ce qui revient
au même, que jdet(J(F)(Xo)) j # 0).
Alors p-l est différentiable sur V et on peut appliquer le résultat de la proposition 3. 77