3.8 DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE JR.P VERS Rn
147
Exemple des coordonnées polaires
On a vu que la foncti0Il'1p définie sur ~ *+ x ~ panP( r, ()) = ( x, y) = ( r cos (), r sin ())
était différentiable.
Plaçons nous maintenant sur un domaine U où ' I/; réalise une bijection. On peut
par exemple prendre U = ~*+x] - 7r,7r[. V est alors représenté par le plan privé
de la demi-droite [Ox'), partie de l'axe des abscisses formée des points d'abscisse
négative. (En utilisant les nombres complexes, V est formé des points dont l'affixe
est dans C \ ~-)
Mais nous nous restreindrons à un domaine U plus petit, car l'application réciproque ,,p- 1 sera alors plus facile à expliciter : on prendra U = ~*+x] - ~' H·
On a dans ce cas V = ~*+ x ~' et pour (x, y) E V, on a ,,p- 1 (x, y) = (r, ()) =
( .fx2 + y 2 , arctan'!!..)
X
(en effet, puisque() est l'angle entre i et OM, on a tan()='!!... Puisqu'on a pris la
X
précaution de ne garder que des () entre - ~ et ~, on a arctan tan () = () = arctan ' !!..
X
)
Soit

{
indéfiniment continûment dérivables et on a
A. (
)
()
t Y
'P2 x, y = = arc an -
X
Donc
-1
2Jx2 +y2
(
2x
J('I/; )(x,y) =
-~
1 y2
+~
Calculons maintenant le Jacobien de ,,p- 1 .
-1
1
X
X
y
y
1
1
1 Comparons maintenant ce résultat avec ce qu'on avait obtenu pour J('I/;) à savoir
J( 'l/;)(r ()) = (c~s () -r sin()) .
'
sm () r cos ()