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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
L'inverse de cette matrice est
( J(1jl)(r,0))- 1 = ! (rc~sO rsinO) ( cosO sinO)
r -smO cosO - -~sinO ~cosO ·
D'autre part, en remplaçant x et y par leurs valeurs respectives r cos 0 et r sinO
dans l'expression de J( (
rcos8
J( rrrsin8)
( cosO
r~~se = -~ sinO
sinO)
~ cosO ·
De même, le Jacobien de 1/J- 1 est égal à ! : c'est bien l'inverse du jacobien de î/J.
r
Pour cet exemple, tous les résultats de la proposition 3. 77 se trouvent donc
confirmés par ces calculs
3.9 Opérateurs différentiels
Dans ce § on introduit un vocabulaire surtout utilisé par les physiciens et les
mécaniciens, mais aussi utile aux mathématiciens.
3.9.1 Champs
En physique, il est fréquent d'associer à tout point de l'espace un nombre ou un
vecteur. Les physiciens parlent de champ scalaire ou de champ vectoriel. Nous
allons définir mathématiquement ces notions et constater qu'elles ne sont en fait
pas nouvelles.
Toutes les applications considérées ici seront suffisamment régulières pour être
continûment dérivées ou différentiées autant de fois que nécessaire.
Champs scalaires
Définition 3. 79 On appelle champ scalaire toute application f définie sur un
domaine 'D(f) de JR 3 (considéré comme l'ensemble des points de l'espace) à valeurs
dans JR.
On se rend compte qu'un champ scalaire, c'est mathématiquement, tout simplement une fonction de JR 3 vers lR sous réserve que JR 3 soit compris comme ensemble
de points. On note en général par des lettres majuscules les points, de sorte que
l'on écrira
f:
JR3 ---+ lR
M t----+ f (M).
On peut aussi considérer des champs scalaires définis sur une partie de JR 2 considéré
comme ensemble des points d'un plan.