3.9 OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
149
Notons une subtilité concernant ces champs scalaires : puisqu'ils associent un
nombre f(M) à un point M, et que ce point peut être repéré avec d'autres
coordonnées que les coordonnées cartésiennes (même sans changer de repère), par
exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques, que devient ce champ si on
change les coordonnées ?
Comprenons bien qu'alors, mathématiquement, on change d'application:
Si f
(x, y, z) i----+ f(x, y, z), et si on utilise les coordonnées cylindriques,
par exemple, avec (x, y, z) = 'ljJ(r,~, z), alors on étudie une autre application,
que l'on peut noter par exemple f et qui asso~ie à (r, 0, z) le réel f(r, 0, z) =
J(r cos 0, r sin 0, z) = f o 'ljJ(r, 0, z) de sorte que f = f o ' l/J.
De même, si on utilise les coordonnés sphériques, on étudie alors l'application
Î = f o cp (notations du§ 3.8.5 pp. 143-144).
Une des difficultés avec cette notion lorsqu'elle est utilisée par des non-mathématiciens
est que souvent ils omettent de distinguer f et f ou Î, et notent tout avec la
même lettre. Pour pouvoir raisonner sainement, il est essentiel de savoir rétablir
la distinction ci-dessus au moins au niveau de sa réflexion personnelle.
Champs vectoriels
Définition 3.80 On appelle champ vectoriel toute application V définie sur un
domaine 'D(f) de JR! 3 (considéré comme l'ensemble des points de l'espace) à valeurs
dans JR! 3 (considéré comme ensemble des vecteurs de l'espace).
Nous voyons donc qu'un champ vectoriel n'est mathématiquement rien d'autre
qu'une fonction de JR! 3 dans JR! 3 .
Il est d'usage de noter (P, Q, R) les fonctions composantes de V (P, par exemple
est donc un champ scalaire de même ensemble de définition que V).
Si, sans changer de repère, on utilise pour repérer un point M les coordonnées
cylindriqués ou sphériques, on soulève les mêmes difficultés que pour les champs
scalaires : on change en fait d'application.
On peut aussi considérer des champs vectoriels plans : dans ce cas l'ensemble
de départ est JR! 2 considéré comme ensemble des points du plan, et l'ensemble
d'arrivée est JR! 2 considéré comme ensemble des vecteurs de ce plan.
Notons qu'en fait, on peut toujours plonger JR! 2 dans JR! 3 , en considérant que le
plan est un plan de l'espace et en rajoutant une troisième coordonnée z prise en
suivant un vecteur k orthogonal au plan.
3.9.2 Gradient d'un champ scalaire
Nous avons vu au § 3. 7. 7 p. 130 que le gradient d'une fonction de trois variables
f (donc d'un champ scalaire, dans notre point de vue) est un champ vectoriel
149
Notons une subtilité concernant ces champs scalaires : puisqu'ils associent un
nombre f(M) à un point M, et que ce point peut être repéré avec d'autres
coordonnées que les coordonnées cartésiennes (même sans changer de repère), par
exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques, que devient ce champ si on
change les coordonnées ?
Comprenons bien qu'alors, mathématiquement, on change d'application:
Si f
(x, y, z) i----+ f(x, y, z), et si on utilise les coordonnées cylindriques,
par exemple, avec (x, y, z) = 'ljJ(r,~, z), alors on étudie une autre application,
que l'on peut noter par exemple f et qui asso~ie à (r, 0, z) le réel f(r, 0, z) =
J(r cos 0, r sin 0, z) = f o 'ljJ(r, 0, z) de sorte que f = f o ' l/J.
De même, si on utilise les coordonnés sphériques, on étudie alors l'application
Î = f o cp (notations du§ 3.8.5 pp. 143-144).
Une des difficultés avec cette notion lorsqu'elle est utilisée par des non-mathématiciens
est que souvent ils omettent de distinguer f et f ou Î, et notent tout avec la
même lettre. Pour pouvoir raisonner sainement, il est essentiel de savoir rétablir
la distinction ci-dessus au moins au niveau de sa réflexion personnelle.
Champs vectoriels
Définition 3.80 On appelle champ vectoriel toute application V définie sur un
domaine 'D(f) de JR! 3 (considéré comme l'ensemble des points de l'espace) à valeurs
dans JR! 3 (considéré comme ensemble des vecteurs de l'espace).
Nous voyons donc qu'un champ vectoriel n'est mathématiquement rien d'autre
qu'une fonction de JR! 3 dans JR! 3 .
Il est d'usage de noter (P, Q, R) les fonctions composantes de V (P, par exemple
est donc un champ scalaire de même ensemble de définition que V).
Si, sans changer de repère, on utilise pour repérer un point M les coordonnées
cylindriqués ou sphériques, on soulève les mêmes difficultés que pour les champs
scalaires : on change en fait d'application.
On peut aussi considérer des champs vectoriels plans : dans ce cas l'ensemble
de départ est JR! 2 considéré comme ensemble des points du plan, et l'ensemble
d'arrivée est JR! 2 considéré comme ensemble des vecteurs de ce plan.
Notons qu'en fait, on peut toujours plonger JR! 2 dans JR! 3 , en considérant que le
plan est un plan de l'espace et en rajoutant une troisième coordonnée z prise en
suivant un vecteur k orthogonal au plan.
3.9.2 Gradient d'un champ scalaire
Nous avons vu au § 3. 7. 7 p. 130 que le gradient d'une fonction de trois variables
f (donc d'un champ scalaire, dans notre point de vue) est un champ vectoriel