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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS JR"
.
âf âf
âf
dont les fonctions composantes sont âx, ây et âz. En notant en colonne les
vecteurs de l'espace, nous avons donc
âf
âx (x,y, z)
----:-+âf
gradf(x,y,z) = ây(x,y,z)
âf
âz (x,y,z)
Nous avons vu également que le gradient est une notion équivalente à celle de
différentielle puisque pour tout H E ~ 3 , en considérant ~ 3 muni de son produit
scalaire naturel · on a
dfM(H) = gradf(M) · H.
Gradient en coordonnées cylindriques
Si un champ vectoriel f est défini à partir de son expression en coordonnées
cylindriques f = f o î/J, il est intéressant de savoir calculer grad f en fonction de
~
czs coordonnées cylindriques, c'est-à-dire de déterminer grad f o î/J en fonction de
f.
Une méthode astucieuse consiste à utiliser le théorème 3.74, p. 137.
En effet, gradf oî/J(r,O,z) = gradf(rcosO,rsinO,z) a les mêmes composantes
que df .,p(r,O,z) et on a vu que
dÎ(r,O,z) = d(J 0 î/J)(r,O,z) = df.,p(r,O,z) 0 dî/J(r,O,z)·
Matriciellement, en utilisant la matrice jacobienne du changement de variable ' l/;
(voir p. 143), qui est inversible puisque son déterminant est r =f:. 0 si on évite l'axe
(Oz), on obtient
âf âf âf
.
-
-
-)
(cos(}
(âr â(} âz (r,O,z) = df.,p(r,O,z)J(î/J)(r,O,z) = df.,p(r,O,z) s1~(}
-rsinO 0)
rcosO 0 .
0
1
Donc df
= (âf( (} ) âf( (} ) âf( (} ))
.,P(r,O,z)
âr r, , z â(} r, , z âz r, , z
Puisque ( J( î/J )(r, (}, z) )1 = (
cos(}
sin(}
r
0
sin(}
cos(}
r
0
(
cos(}
sin(}
0
-r sin(}
r cos(}
0
~)
-1