3,9 OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
On obtient
cos()
df
= (âf(
)
'l{J(r,9,z)
âr r, fJ, z
(
cos()
âf
sinfJ
ôz (r,o,z)) - ;
âf
âfJ (r, fJ, z)
sin fJ o~)
r
0
= ([âf cosfJ- âf sinfJ]
âr
âfJ r
[ âf . () âf cos()]
-sm +--âr
âfJ r
[ ~~ ]) .
Finalement, on obtient l'expression du gradient en coordonnées polaires :
grad) o 'lfJ(r, fJ, z) =
âf
âf
sinfJ
âr ( r, (), z) cos () - â() ( r, (), z) -râ f
.
âf
cosfJ
âr (r, fJ, z) sm ! + âfJ (r, fJ, z)-râf
âz (r, (), z)
151
On pourrait faire un calcul analogue pour l'expression du gradient en coordonnées
sphériques, mais l'inverse de J() est un peu plus compliquée à obtenir (voir
exercices).
3.9.3 Divergence d'un champ vectoriel
Définition 3.81 Soit V un champ vectoriel défini sur un domaine V, de classe
C 1 , de composantes (P, Q, R).
La divergence de V est le champ scalaire div V défini sur V par
. 77
âP âQ âR
div V = âx + ây + âz ·
(Si V est un champ vectoriel plan, on supprime les troisièmes coordonnées , donc
d . 77
âP âQ)
IV V= âx + Ôy .
Notons le petit «paradoxe» : si on part d'un champ scalaire, en le « dérivant »,
on obtient un champ vectoriel (le gradient), alors qu'en « dérivant » un champ
vectoriel, on trouve un champ scalaire (la divergence). Ce n'est en fait pas si
simple, puisque nous verrons au § suivant une autre façon de dériver un champ
vectoriel, dont le résultat est lui vectoriel.
On peut aussi se poser la question : que donne la divergence d'un champ vectoriel
en un point M dont on connaît les fonctions composantes exprimées en coordonnées
cylindriques ou sphériques (ou même polaires pour un champ vectoriel plan).