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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
3.9.4 Laplacien d'un champ scalaire
Définition 3.82 Soit fun champ vectoriel défini sur un domaine V, de classe
c2.
Le Laplacien de f est le champ scalaire tl.f défini sur V par
a 2 1 a 2 1 a 2 1
tl.f = âx2 + ây2 + âz2 ·
(Si f est un champ scalaire plan, on supprime le troisième terme, et tl.f ==
a 2 J rP J
âx2 + ây2 ).
Le Laplacien de f est donc une espèce de dérivée seconde. On vérifie d'ailleurs
aisément que
Proposition 3.83
-------*
div(grad J) = tl.f.
3.9.5 Rotationnel d'un champ vectoriel
Définition 3.84 Soit V un champ vectoriel défini sur un domaine V, de classe
C 1 , de composantes (P, Q, R).
Le rotationnel de V est le champ vectoriel ~ défini sur V par
âR âQ
- - -
ây
âz
~=
âP âR
- - -
âz
âx
âQ âP
- - -
âx
ây
(Si V est un champ vectoriel plan ( ~~~: ~j), on rajoute une troisième coordonnée
R = 0, et on considère Pet Q comme des fonctions de trois variables (x, y, z) on
(
0
)
âP
âQ
O
a donc âz = 0 = âz, de sorte que~= âQ _ âP .
âx
ây
Dans ce cas on peut aussi considérer que le rotationnel est une fonction scalaire
(tout dépend du contexte).
-:-+
âQ âP
rot( V)= - - - .
âx
ây
Un des intérêts immédiats du rotationnel est le résultat fondamental suivant.