3,9 OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
153
Théorème 3.85 Soit V un champ vectoriel de classe C 1 sur un ouvert étoilé.
Alors V est un champ de gradients (c'est-à-dire qu'il existe un champ scalaire f
tel que V = grad f) si et seulement si
~=â.
Définition 3.86 Un ouvert U est dit étoilé lorsqu'il est étoilé par rapport à un
de ses points.
Un ouvert U est étoilé par rapport à son point 0 lorsqu'on a :
VM EU
[OM] eu.
Par exemple tout ouvert convexe est étoilé (par rapport à n'importe lequel de ses
points).
L'intérieur d'un « étoile » est étoilé (par rapport à son centre et aussi par rapport
à des points proches de son centre).
Le plan auquel on enlève une demi-droite est étoilé (par rapport à tout point dans
le prolongement de la demi-droite enlevée).
En revanche l'ensemble ouvert formé du plan (ou de l'espace) auquel on a enlevé
un point, par exemple l'origine n'est pas étoilé.
Une bonne façon de comprendre la notion d'ouvert étoilé (du plan) est de considérer
que le dessin qui le représente est le plan d'une pièce ou d'un domaine, et de
se poser la question suivante : peut-on éclairer toute cette pièce avec une seule
ampoule? Y a-t-il un endroit où on peut placer une lampe qui ne laisse aucun
point dans l'ombre? Si la réponse est oui, l'ouvert est étoilé (par rapport à ce
point où on peut placer l'ampoule). Si la réponse est non, l'ouvert n'est pas étoilé.
Par exemple, le plan privé d'un point peut se concevoir comme une très grande
pièce avec un pilier central. Il est clair que dans un domaine de ce type, où que
l'on place l'ampoule, il y aura toujours une zone d'ombre (derrière le pilier).
En revanche, si on enlève toute une demi-droite du plan on peut imaginer qu'on a
une très grande pièce avec une cloison très mince (infiniment mince) qui part d'un
pilier central (lui aussi de diamètre nul!). Il est clair qu'une lampe placée dans le
prolongement de la cloison ne laisse (en théorie) aucune zone d'ombre, puisque
l'ombre du pilier est justement formée par la cloison qui n'est pas à l'intérieur de
la pièce.
Preuve partielle du théorème 3.85
Lemme 3.87 Soit fun champ scalaire de classe C 2 sur un ouvert quelconque U.
--=---=4
Alors on a
rot gradf = O.
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Théorème 3.85 Soit V un champ vectoriel de classe C 1 sur un ouvert étoilé.
Alors V est un champ de gradients (c'est-à-dire qu'il existe un champ scalaire f
tel que V = grad f) si et seulement si
~=â.
Définition 3.86 Un ouvert U est dit étoilé lorsqu'il est étoilé par rapport à un
de ses points.
Un ouvert U est étoilé par rapport à son point 0 lorsqu'on a :
VM EU
[OM] eu.
Par exemple tout ouvert convexe est étoilé (par rapport à n'importe lequel de ses
points).
L'intérieur d'un « étoile » est étoilé (par rapport à son centre et aussi par rapport
à des points proches de son centre).
Le plan auquel on enlève une demi-droite est étoilé (par rapport à tout point dans
le prolongement de la demi-droite enlevée).
En revanche l'ensemble ouvert formé du plan (ou de l'espace) auquel on a enlevé
un point, par exemple l'origine n'est pas étoilé.
Une bonne façon de comprendre la notion d'ouvert étoilé (du plan) est de considérer
que le dessin qui le représente est le plan d'une pièce ou d'un domaine, et de
se poser la question suivante : peut-on éclairer toute cette pièce avec une seule
ampoule? Y a-t-il un endroit où on peut placer une lampe qui ne laisse aucun
point dans l'ombre? Si la réponse est oui, l'ouvert est étoilé (par rapport à ce
point où on peut placer l'ampoule). Si la réponse est non, l'ouvert n'est pas étoilé.
Par exemple, le plan privé d'un point peut se concevoir comme une très grande
pièce avec un pilier central. Il est clair que dans un domaine de ce type, où que
l'on place l'ampoule, il y aura toujours une zone d'ombre (derrière le pilier).
En revanche, si on enlève toute une demi-droite du plan on peut imaginer qu'on a
une très grande pièce avec une cloison très mince (infiniment mince) qui part d'un
pilier central (lui aussi de diamètre nul!). Il est clair qu'une lampe placée dans le
prolongement de la cloison ne laisse (en théorie) aucune zone d'ombre, puisque
l'ombre du pilier est justement formée par la cloison qui n'est pas à l'intérieur de
la pièce.
Preuve partielle du théorème 3.85
Lemme 3.87 Soit fun champ scalaire de classe C 2 sur un ouvert quelconque U.
--=---=4
Alors on a
rot gradf = O.